xét tính liên tục của hàm số

1. Các dạng toán về xét tính liên tục của hàm số và cách thức giải

Phần kỹ năng và kiến thức về tính chất liên tiếp của hàm số là chủ thể đặc biệt cần thiết nhập lịch trình toán 11 bậc trung học phổ thông. Bài tập dượt xét tính liên tục của hàm số xuất hiện tại thật nhiều trong số đề đánh giá, đề thi đua trung học phổ thông Quốc gia trong năm. Để ăn chắc hẳn điểm của dạng bài bác này, những em nằm trong VUIHOC điểm lại 6 dạng toán về xét tính liên tục của hàm số, kèm cặp cách thức và ví dụ giải cụ thể nhé!

Bạn đang xem: xét tính liên tục của hàm số

1.1. Dạng 1: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên 1 điểm

Phương pháp giải cộng đồng của dạng xét tính liên tục của hàm số bên trên một điểm như sau:

Cho hàm số hắn = f(x). Xét tính liên tiếp của hàm số hắn bên trên điểm x = x₀, học viên hoàn toàn có thể tiến hành bám theo 2 cơ hội sau đây:

Cách 1:

• Bước 1: Tính độ quý hiếm của hàm số hắn bên trên x₀ (Tính f(x₀))

• Bước 2: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$

• Bước 3: Nếu $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=f(x_{0})$ thì tao được hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀.

Cách 2: 

• Bước 1: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$

• Bước 2: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)$

• Bước 3: Nếu độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)=f(x_{0})$ thì tao với hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀.

Ví dụ minh họa dạng 1:

Ví dụ 1: Xét tính liên tiếp của hàm số $f(x)=\frac{x^{2}-4}{x+2}$ bên trên điểm x = -2

Giải:

Ta thấy f(-2) ko xác lập, vì vậy hàm số f(x) ko liên tiếp bên trên x = -2.

Ví dụ 2: 

a. Tìm $\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}f(x)$

b. Xét tính liên tiếp của f(x) bên trên x = 2 và x = -2

Giải:

a. Ta với $\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}\frac{3-\sqrt{x^{2}+5}}{x^{2}-4}=\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}\frac{9-x^{2}-5}{(x^{2}-4)(3+\sqrt{x^{2}+5})}=\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}\frac{-1}{3+\sqrt{x^{2}+5}}=-16$

b. Từ phần a, tao hoàn toàn có thể suy rời khỏi $\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}f(x)=f(2)$. Như vậy, hàm số vẫn cho tới liên tiếp bên trên điểm x = 2. trái lại, hàm số hắn = f(x) ko xác lập bên trên x = -2 nên hắn ko liên tiếp bên trên x = -2.

1.2. Dạng 2: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên một khoảng chừng, đoạn hoặc tập dượt xác định

Hàm số f(x) liên tiếp bên trên một quãng, khoảng chừng hoặc tập dượt xác lập nếu như nó liên tiếp bên trên từng điểm bên trên đoạn, khoảng chừng hoặc tập dượt xác lập cơ.

Lưu ý:

• Hàm số f(x) liên tiếp bên trên đoạn [a;b] Lúc hàm số cơ liên tiếp bên trên khoảng chừng (a;b) và thỏa mãn nhu cầu điều kiện:

$\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x)=f(a),\underset{x\rightarrow b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$

• Hàm số nhiều thức thông thường với đặc thù liên tiếp bên trên toàn cỗ tập dượt số thực R.

• Hàm số phân thức hữu tỉ, hàm con số giác liên tiếp bên trên từng khoảng chừng của tập dượt xác lập của bọn chúng.

Phương pháp xét tính liên tục của hàm số bên trên một khoảng chừng, đoạn hoặc tập dượt xác định:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính liên tiếp bên trên R của hàm số sau:

$\left\{\begin{matrix}
\frac{x^{2}+5x}{x} & Lúc \, x \neq 0\\ 
5 & Lúc \, x=0
\end{matrix}\right.$

Giải: Ta thấy Lúc $x\neq 0$, hàm số đề bài bác là hàm phân thức và trọn vẹn xác lập nên f(x) liên tiếp bên trên từng khoảng chừng $(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.

Do vậy, tao cần thiết xét tính liên tục của hàm số bên trên điểm x = 0. Ta có:

• Giá trị của hàm số bên trên x = 0: f(0) = 5 

• Giới hạn của f(x) bên trên x = 0 là:

$\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\frac{x^{2}+5x}{x}=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}(x+5)=5$

Vì $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(0)$, vì vậy hàm số f(x) liên tiếp bên trên x = 0.

Kết luận: Hàm số đề bài bác liên tiếp bên trên tập dượt R.

Ví dụ 2: Xét tính liên tiếp của hàm số sau bên trên tập dượt xác định:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
2x-1 & Lúc \, x <  0\\ 
\sqrt{x} & Lúc \, x\geq 0
\end{matrix}\right.$

Giải: Ta thấy ngay lập tức, tập dượt xác lập của f(x) là R.

Trường ăn ý x < 0: $f(x) = 2x - 1$ là hàm số liên tiếp.

Trường ăn ý x > 0: $f(x) = \sqrt{x}$ là hàm số liên tiếp.

Từ cơ suy rời khỏi, tao chỉ việc xét thêm thắt tính liên tiếp của hàm số bên trên x = 0 là hoàn toàn có thể Kết luận.

Tại x = 0, tao có:

$\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}\sqrt{x}=0$

$\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}(2x-1)$

$=-1$

Ta thấy: $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}f(x)=f(0)\neq \underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)$, suy rời khỏi hàm số bị con gián đoạn bên trên x=0.

Kết luận: hàm số vẫn cho tới ko liên tiếp bên trên tập dượt xác lập.

Đăng ký ngay lập tức sẽ được những thầy cô tổ hợp kỹ năng và kiến thức và thiết kế quãng thời gian ôn thi đua chất lượng nghiệp trung học phổ thông sớm kể từ bây giờ

1.3. Dạng 3: Tìm điểm con gián đoạn của hàm số f(x)

Điểm con gián đoạn của hàm số f(x) tức là tồn bên trên một điểm x₀ khiến cho hàm số f(x₀) ko liên tiếp.

Để giải được bài bác tập dượt dạng thám thính điểm con gián đoạn của hàm số f(x), tao thực hiện thứu tự bám theo công việc sau đây:

• Bước 1: Tìm độ quý hiếm f(x₀)

• Bước 2: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$

• Bước 3: So sánh f(x₀) rồi rút rời khỏi Kết luận. Nếu thỏa mãn: $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$ thì tao Kết luận hàm số liên tiếp bên trên $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=f(x_{0})$

Nếu $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)\neq f(x_{0})$ tao Kết luận hàm số ko liên tiếp bên trên $x_{0}$.

• Bước 4: Kết luận bám theo đòi hỏi của đề bài bác.

Các em nằm trong VUIHOC xét 2 ví dụ tại đây nhằm hiểu rộng lớn về dạng bài bác tập dượt này nhé!

Ví dụ 1: Dùng khái niệm, xét tính liên tiếp của f(x) = x³ + 2x - 1 bên trên x₀ = 3.

Giải:

Ta có:  $f(x)=x^{3}+2x-1 \Rightarrow f(3)=3.3+2.3-1=32$
$\underset{x\rightarrow 3}{lim}(x^{3}+2x-1)=\underset{x\rightarrow 3}{lim}x^{3}+2.\underset{x\rightarrow 3}{lim}x-1=3^{3}+2.3-1=32$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 3}{lim}f(x)=f(3)$

Vậy, f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀ = 3

Ví dụ 2: Xét tính liên tiếp của hàm số hắn = g(x) bên trên x0=2, biết:
$g(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{x^{3}-8}{x-2},x\neq 2\\
5,x=2
\end{matrix}\right.$

Giải:

Ta với g(2)=5

$\underset{x\rightarrow 2}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow 2}{lim}\frac{x^{3}-8}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2}{lim}\frac{(x-2)(x^{2}+2x+4)}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2}{lim}(x^{2}+2x+4)=12$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x)\neq g(2)$

Vậy, g(x) ko liên tiếp bên trên điểm x₀ = 2

1.4. Dạng 4: Tìm ĐK nhằm hàm số liên tiếp bên trên một điểm

Theo lý thuyết đã và đang được học tập, hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên điểm $\Leftrightarrow \underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}=f(x_{0})$

Dựa bám theo khái niệm, nhằm thám thính ĐK thỏa mãn nhu cầu hàm số liên tiếp bên trên một điểm, tất cả chúng ta cần thiết tuân theo công việc sau đây:

• Bước 1: Xác quyết định coi hàm số đề bài bác với xác lập bên trên điểm x₀ vẫn cho tới hay là không. Tính f(x₀).

• Bước 2: Tính số lượng giới hạn của hàm số bên trên điểm x = 1

• Bước 3: Hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀, suy rời khỏi $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}=f(x_{0})$

• Bước 4: Kết luận độ quý hiếm của m.

Cùng xét ví dụ minh họa tại đây nhằm hiểu rộng lớn về dạng bài bác tập dượt này nhé!

Ví dụ 1: Tìm thông số m nhằm hàm số liên tiếp bên trên điểm x=1:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{2-7x+5x^{2}}{x^{2-3x+2}} & Lúc \, x \neq 1\\ 
-3mx-1 & Lúc \, x = 1
\end{matrix}\right.$

Giải: 

Ta thấy hàm số vẫn xác lập bên trên x = 1, f(1) = -3m.1-1.

Tính số lượng giới hạn của hàm số bên trên điểm x = 1:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-7x+5x^{2}}{x^{2}-3x+2}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{(x-1)(5x-2)}{(x-1)(x-2)}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{5x-2}{x-2}=-3$

Ta với, hàm số f(x) liên tiếp bên trên x0=1 khi: 

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1)\Leftrightarrow -3m-1=3\Leftrightarrow m=\frac{-2}{3}$

Kết luận: m = -3

Ví dụ 2: 

Giải:

Hàm số vẫn cho tới liên tiếp bên trên điểm x = 1, suy rời khỏi $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x) = f(1) = m$

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2x^{3}+ax^{2}-4x+b}{(x-1)^{2}}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2x(x-1)^{2}+(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}[2x+\frac{(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}]$

=$2+\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}$

Vì $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)$ với tồn bên trên nên $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}$ tồn bên trên (a + 4)x² - 6x + b = 0, nhận x = một là nghiệm kép.

Do vậy, phối kết hợp $x_{0}=\frac{6}{2(a+4)}=1$ và $\Delta=9-(a+4)b=0$ tao được a = -1; b = 3

Suy ra: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=2+3=5\Rightarrow m=5$

Vậy, đáp án nên cần chọn là B.

1.5. Dạng 5: Tìm ĐK nhằm hàm số liên tiếp bên trên một khoảng chừng, đoạn hoặc tập dượt xác định

Để giải dạng bài bác tập dượt xét tính liên tục của hàm số bên trên khoảng chừng đoạn hoặc tập dượt xác lập, tao cần dùng ĐK nhằm hàm số liên tiếp kết phù hợp với ĐK nhằm phương trình với nghiệm.

• Điều khiếu nại nhằm hàm số liên tiếp bên trên x₀: $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$

• Điều khiếu nại nhằm hàm số liên tiếp bên trên tập dượt D này đó là f(x) cần liên tiếp bên trên từng điểm nằm trong D.

• Phương trình f(x) = 0 với tối thiểu một nghiệm bên trên tập dượt D Lúc hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên D, với nhì số a,b nằm trong D sao cho tới f(a).f(b) < 0.

• Phương trình f(x)= 0 với k nghiệm bên trên tập dượt D Lúc hàm số f(x) liên tiếp bên trên D và tồn bên trên k tách nhau (a_i;a_i+1) (i=1,2,...,k) ở trong tập dượt D thỏa mãn nhu cầu f_(ai).f_(ai+1) < 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xác quyết định a nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên tập dượt R

$f(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{a^{2}(x-2)}{\sqrt{x+2}-2} & Lúc \, x <2\\ 
(1-a)x & Lúc \, x\geq 2
\end{matrix}\right.$

Giải:

Hàm số f(x) xác lập bên trên R

• x < 2 thì hàm số liên tục

• x > 2 thì hàm số liên tục

• x = 2, tao có:

$\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}(1-a)x=(1-a)2=f(2)$

$\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{a^{2}(x-2)}{\sqrt{x+2}-2}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}a^{2}(\sqrt{x+2}+2)=4a^{2}$

Như vậy, hàm số liên tiếp bên trên R $\Rightarrow$ Hàm số liên tiếp bên trên x = 2.

$\Leftrightarrow \underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}f(x)$

$\Leftrightarrow 4a^{2} =(1-a)2$

$\Leftrightarrow a=-1, a=0.5$

Vậy a nhận 2 độ quý hiếm là a = -1, a = 0.5

Ví dụ 2: Tìm độ quý hiếm m nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên tập dượt R:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} & Lúc \, x >0\\ 
2x^{2}+3m+1 & Lúc \, x\leq 0
\end{matrix}\right.$

Giải: 

Với x < 0: hàm số liên tục

Với x > 0: hàm số liên tục

Với x = 0, tao có:

$\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}(x)=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)=x0-(2x2+3m+1)=3m+1=f(0)$

Vậy, hàm số bên trên liên tiếp bên trên R => hàm số f(x) liên tiếp bên trên x = 0

$\Leftrightarrow \underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}=3m+1$

$\Leftrightarrow m=\frac{-1}{6}$

Kết luận: Giá trị m cần thiết thám thính là $m=\frac{-1}{6}$

1.6. Dạng 6: Ứng dụng hàm số liên tiếp nhằm chứng tỏ phương trình với nghiệm

Để chứng tỏ được phương trình với nghiệm vận dụng tính liên tiếp của hàm số, tao cần thiết tổ chức bám theo công việc sau đây:

• Bước 1: Biến thay đổi phương trình đề bài bác cho tới trở nên dạng f(x) = 0

• Bước 2: Tìm độ quý hiếm 2 số a và b (a < b) thỏa mãn nhu cầu ĐK f(a).f(b) < 0

• Bước 3: Chứng minh nhằm hàm số f(x) liên tiếp bên trên [a;b]. Từ cơ tao suy rời khỏi được phương trình f(x) = 0 với tối thiểu 1 nghiệm nằm trong đoạn (a;b).

Ta nằm trong xét những ví dụ sau nhằm hiểu rộng lớn về phong thái phần mềm hàm số liên tiếp chứng tỏ phương trình với nghiệm.

Ví dụ 1: Chứng minh phương trình 4x³ - 8x² + 1= 0 với nghiệm nằm trong (-1;2)

Giải:

Ta có:

f(x) = 4x³ - 8x² + 1 liên tiếp bên trên tập dượt R.

$\Rightarrow f(-1)=-11, f(2)=1\Rightarrow (-1).f(2)<0$

Theo đặc thù hàm số liên tiếp, phương trình đề bài bác với tối thiểu 1 nghiệm nằm trong (-1;2).

Ví dụ 2: Chứng minh 4x⁴ + 2x² - x - 3 = 0 với tối thiểu 2 nghiệm trong tầm (-1;1)

Giải:

Xét f(x) = 4x⁴ + 2x² - x - 3 suy rời khỏi f(x) liên tiếp bên trên R.

Ta có:

f(-1) = 4 + 2 + 1 - 3 = 4

f(0) = -3

f(1) = 2

Do f(-1).f(0) < 0 nên phương trình với nghiệm nhập (-1;0)

Do f(1).f(0) < 0 nên phương trình với nghiệm nhập (0;1)

Vì 2 khoảng chừng (-1;0) và (0;1) ko kí thác nhau, nên phương trình đề bài bác với tối thiểu 2 nghiệm nằm trong khoảng chừng (-1;1).

2. Bài tập dượt áp dụng về tính chất liên tiếp của hàm số

Dưới đấy là 10 bài bác tập dượt trắc nghiệm áp dụng tính liên tiếp của hàm số giành riêng cho những em học viên rèn luyện hằng ngày. Cùng lưu về tìm hiểu thêm nhé!

Bài 1: Cho hàm số:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
a^{2}x^{2} , x\leq \sqrt{2},a\epsilon R\\
(2-a)x^{2},x> \sqrt{2}
\end{matrix}\right.$

Giá trị của a nhằm f(x) liên tiếp bên trên R là:

A. 1 và 2    B. 1 và -1    C. -1 và 2    D. 1 và -2

Giải chi tiết:

Bài 2: Cho hàm số

Đáp án: B

Bài 3: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Hàm số liên tiếp bên trên x khi: $\underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)=f(0) \Leftrightarrow a+2=1\Leftrightarrow a=-1$

Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Bài 5: Cho hàm số:

Giải chi tiết: 

Chọn đáp án B vì như thế x = 2 ko nằm trong với tập dượt xác lập của f(x).

Bài 6: Khẳng quyết định này đích thị trong số xác minh bên dưới đây:

Đáp án A.

Bài 7: Khẳng quyết định này bên dưới đấy là xác minh đúng?

Đáp án: B

Bài 8: Cho hàm số:

Đáp án B.

Bài 9: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Bài 10: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Xem thêm: hạt nhân càng bền vững khi có

Đăng ký ngay lập tức nhằm nhận hoàn hảo cỗ kỹ năng và kiến thức và những dạng bài bác tương quan cho tới tính liên tiếp của hàm số

Trên đấy là toàn cỗ 6 phương pháp xét tính liên tục của hàm số thuộc lịch trình Toán 11 với kèm cặp ví dụ minh họa và cỗ bài bác tập dượt rèn luyện hằng ngày. Hy vọng rằng sau nội dung bài viết này, những em học viên tiếp tục học tập thêm thắt được những kĩ năng nhằm xử lý dạng toán này đơn giản và dễ dàng rộng lớn. Hãy truy vấn trang web dạy dỗ Vuihoc.vn hoặc trung tâm tương hỗ nhằm học tập thêm thắt nhiều kỹ năng và kiến thức toán trung học phổ thông nhằm mục tiêu sẵn sàng hành trang cho tới kỳ thi đua trung học phổ thông Quốc gia tới đây nhé!