tìm ma trận nghịch đảo

Bài ghi chép này Vted khối hệ thống lại những dạng toán về quỷ trận nghịch tặc hòn đảo và cách thức giải

Bạn đang xem: tìm ma trận nghịch đảo

>>Xem thêm Các cách thức tính lăm le thức của quỷ trận

>>Định thức của quỷ trận và những đặc điểm của lăm le thức

>>Xem thêm Các dạng toán về hạng của quỷ trận và cách thức giải

>>Xem thêm Phép nhân quỷ trận và những tính chất

Ma trận phụ phù hợp và những tính chất

Cho quỷ trận $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}}$ và ${{A}_{ij}}$ là phần bù đại số của thành phần ${{a}_{ij}}$ của quỷ trận $A.$ Khi đó:

Ma trận ${A^*} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{11}}}&{{A_{21}}}&{...}&{{A_{n1}}} \\ {{A_{12}}}&{{A_{22}}}&{...}&{{A_{n2}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {{A_{1n}}}&{{A_{2n}}}&{...}&{{A_{nn}}} \end{array}} \right)$ được gọi là quỷ trận phụ phù hợp của quỷ trận $A.$

Vậy ${{A}^{*}}={{(a_{ij}^{*})}_{n\times n}}={{\left( {{A}_{ji}} \right)}_{n\times n}}$ và ${{(kA)}_{ij}}={{k}^{n-1}}{{A}_{ij}}\Rightarrow {{(kA)}^{*}}={{k}^{n-1}}{{A}^{*}}.$ Suy ra

Phần tử nằm trong bên trên loại i, cột j của quỷ trận phụ phù hợp ${{A}^{*}}$ là $a_{ij}^{*}={{A}_{ji}}={{\left( -1 \right)}^{j+i}}{{M}_{ji}}$

Phần tử nằm trong bên trên loại i, cột j của quỷ trận phụ phù hợp ${{\left( kA \right)}^{*}}$ là ${{k}^{n-1}}{{A}_{ji}}={{k}^{n-1}}{{\left( -1 \right)}^{j+i}}{{M}_{ji}}$

Ví dụ 1: Cho quỷ trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&{ - 1}\\ 3&4&{ - 2}&5\\ { - 3}&4&1&2\\ { - 1}&2&{ - 3}&4 \end{array}} \right).$ Tìm thành phần nằm trong loại 3, cột 2 của những quỷ trận phụ phù hợp ${{A}^{*}}$ và ${{\left( -2023A \right)}^{*}}.$

Giải. Ta sở hữu ${A^*} = {(a_{ij}^*)_{n \times n}} = {\left( {{A_{ji}}} \right)_{n \times n}} \Rightarrow a_{32}^* = {A_{23}} = {( - 1)^{2 + 3}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1} \\ { - 3}&4&2 \\ { - 1}&2&4 \end{array}} \right| = - 34.$

Và ${{(kA)}_{ij}}={{k}^{n-1}}{{A}_{ij}}\Rightarrow {{(kA)}^{*}}={{k}^{n-1}}{{A}^{*}}.$ Suy đi ra thành phần nằm trong bên trên loại i, cột j của quỷ trận phụ phù hợp ${{\left( kA \right)}^{*}}$ là ${{k}^{n-1}}{{A}_{ji}}={{k}^{n-1}}{{\left( -1 \right)}^{j+i}}{{M}_{ji}}.$ Vậy thành phần nằm trong loại 3, cột 2 của quỷ trận ${{\left( -2023A \right)}^{*}}$ là ${\left( { - 2023} \right)^3}{\left( { - 1} \right)^{2 + 3}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1} \\ { - 3}&4&2 \\ { - 1}&2&4 \end{array}} \right| = - 34 \times {2023^3}.$

Ví dụ 2: Tìm quỷ trận phụ phù hợp của quỷ trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ c&d \end{array}} \right).$ sít dụng dò thám quỷ trận $A$ nếu như ${A^*} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2022}&{2023} \\ {2024}&{2025} \end{array}} \right).$

Giải. Ta sở hữu ${A_{11}} = d,{A_{12}} = - c,{A_{21}} = - b,{A_{22}} = a \Rightarrow {A^*} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} d&{ - b} \\ { - c}&a \end{array}} \right).$

Vậy nếu như ${A^*} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2022}&{2023} \\ {2024}&{2025} \end{array}} \right) \Rightarrow a = 2025;b = - 2023;c = - 2024;d = 2022 \Rightarrow A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2025}&{ - 2023} \\ { - 2024}&{2022} \end{array}} \right).$

Ví dụ 3: Cho quỷ trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \\ { - 1}&0&4 \\ 2&5&{ - 1} \end{array}} \right).$ Tìm quỷ trận phụ phù hợp ${{A}^{*}}$ của $A.$

Giải. Ta có

\[\begin{gathered} {A_{11}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&4 \\ 5&{ - 1} \end{array}} \right| = - đôi mươi,{A_{12}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&4 \\ 2&{ - 1} \end{array}} \right| = 7,{A_{13}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0 \\ 2&5 \end{array}} \right| = - 5 \hfill \\ {A_{21}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3 \\ 5&{ - 1} \end{array}} \right| = 17,{A_{22}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3 \\ 2&{ - 1} \end{array}} \right| = - 7,{A_{23}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \\ 2&5 \end{array}} \right| = - 1 \hfill \\ {A_{31}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3 \\ 0&4 \end{array}} \right| = 8,{A_{32}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3 \\ { - 1}&4 \end{array}} \right| = - 7,{A_{33}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \\ { - 1}&0 \end{array}} \right| = 2 \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy \[{A^*} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 20}&{17}&8 \\ 7&{ - 7}&{ - 7} \\ { - 5}&{ - 1}&2 \end{array}} \right).\]

Các đặc điểm của quỷ trận phụ hợp

Bổ đề 1: Cho quỷ trận vuông $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}}$ và ${{A}_{ij}}$ là phần bù đại số của thành phần ${{a}_{ij}}.$ Chứng minh rằng:

i) ${a_{i1}}{A_{k1}} + {a_{i2}}{A_{k2}} + ... + {a_{in}}{A_{kn}} = \left\{ \begin{gathered} \det (A),i = k \hfill \\ 0,i \ne k \hfill \\ \end{gathered} \right.;$

ii) ${a_{1j}}{A_{1q}} + {a_{2j}}{A_{2q}} + ... + {a_{nj}}{A_{nq}} = \left\{ \begin{gathered} \det (A),j = q \hfill \\ 0,j \ne q \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Bổ đề 2: Cho quỷ trận vuông $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}}$ sở hữu ${{A}^{*}}$ là quỷ trận phụ phù hợp của $A,$ Lúc đó:

$A{{A}^{*}}={{A}^{*}}A=\det (A)E.$

Bổ đề 3: Ta sở hữu $\det ({{A}^{*}})={{(\det (A))}^{n-1}}.$

Bổ đề 4: Nếu $\det (A)=0$ Lúc tê liệt những cột của ${{A}^{*}}$ là nghiệm của hệ thuần nhất $AX=O.$

Chứng minh độc giả coi bên trên đây: https://askmath.vn/cau-hoi/Cho-ma-tran-va-la-ma-tran-phu-hop-cua-Chung-minh-rang-a-b-/57eb1653-e4e6-47fe-b3e6-d34a7fe5b859

Định nghĩa quỷ trận nghịch tặc đảo

a) Xét quỷ trận vuông $A.$ Ma trận vuông $X$ nằm trong cung cấp với $A$ được gọi là quỷ trận nghịch tặc hòn đảo của $A$ nếu như thoả mãn $AX=XA=E,$ kí hiệu là ${{A}^{-1}}.$ Vậy $A{{A}^{-1}}={{A}^{-1}}A=E.$ Ma trận nghịch tặc hòn đảo nếu như tồn bên trên thì này là độc nhất.

b) Ma trận vuông $A$ sở hữu quỷ trận nghịch tặc hòn đảo Lúc và chỉ Lúc $A$ sở hữu lăm le thức không giống 0, Lúc tê liệt ${{A}^{-1}}=\dfrac{1}{\det (A)}{{A}^{*}}.$ Trường phù hợp này tao gọi $A$ là quỷ trận khả nghịch tặc hoặc quỷ trận không suy vươn lên là. trái lại nếu như lăm le thức của $A$ vày 0 thì tao gọi $A$ là quỷ trận suy vươn lên là.

Bài toán dò thám thành phần nằm trong loại i và cột j của quỷ trận nghịch tặc đảo

+ Phần tử phía trên loại loại i và cột loại j của quỷ trận ${{A}^{-1}}$ là $\dfrac{1}{\det (A)}a_{ij}^{*}=\dfrac{1}{\det (A)}{{A}_{ji}}.$

+ Phần tử phía trên loại loại i và cột loại j của quỷ trận ${{(kA)}^{-1}}$ là $\dfrac{1}{\det (kA)}{{(kA)}_{ji}}=\dfrac{1}{{{k}^{n}}\det (A)}{{k}^{n-1}}{{A}_{ji}}=\dfrac{1}{k\det (A)}{{A}_{ji}}.$

+ Phần tử phía trên loại loại i và cột loại j của quỷ trận ${{({A}')}^{-1}}$ là $\dfrac{1}{\det ({A}')}{{{A}'}_{ji}}=\dfrac{1}{\det (A)}{{{A}'}_{ji}}.$

+ Phần tử phía trên loại loại i và cột loại j của quỷ trận ${{(k{A}')}^{-1}}$ là $\dfrac{1}{\det (k{A}')}{{(k{A}')}_{ji}}=\dfrac{1}{{{k}^{n}}\det (A)}{{k}^{n-1}}{{{A}'}_{ji}}=\dfrac{1}{k\det (A)}{{{A}'}_{ji}}.$

c) Từ $A.{{A}^{-1}}={{A}^{-1}}.A=E\Rightarrow \det \left( A \right).\det \left( {{A}^{-1}} \right)=\det \left( E \right)=1\Rightarrow \det ({{A}^{-1}})=\dfrac{1}{\det (A)}.$

d) Với $A,B$ là những quỷ trận vuông nằm trong cung cấp không suy vươn lên là tao sở hữu ${{\left( AB \right)}^{*}}={{B}^{*}}{{A}^{*}}$ và ${{(AB)}^{-1}}={{B}^{-1}}{{A}^{-1}}.$

Chứng minh coi bên trên đây: https://askmath.vn/cau-hoi/Cho-hai-ma-tran-vuong-cung-cap-va-khong-suy-bien-Chung-minh-rang-/d6ad5a5f-dd59-4087-9aa1-c4623f2dfbc2

e) Với $A$ là quỷ trận ko suy vươn lên là thì ${{({{A}^{-1}})}^{*}}={{({{A}^{*}})}^{-1}}=\dfrac{1}{\det (A)}A$ và $A=\dfrac{1}{{{\left( \det (A) \right)}^{n-2}}}{{\left( {{A}^{*}} \right)}^{*}}$

Chứng minh coi bên trên đây: https://askmath.vn/cau-hoi/Cho-ma-tran-vuong-cap-khong-suy-bien-Chung-minh-rang-va/7cec8c04-4c34-49f8-827e-d2b08a897478

Ví dụ 1: Cho quỷ trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&m&2&3 \\ { - 1}&2&1&0 \\ 2&3&0&2 \\ 3&{ - 1}&3&1 \end{array}} \right).$ Tìm ĐK nhằm $A$ khả nghịch tặc, Lúc đó:

a) Tìm thành phần phía trên loại 2, cột 3 của quỷ trận ${{A}^{-1}};$

b) Tìm thành phần phía trên loại 2, cột 3 của quỷ trận ${{(6A)}^{-1}};$

c) Tìm thành phần phía trên loại 2, cột 3 của quỷ trận ${{(6{A}')}^{-1}};$

d) Tìm những quỷ trận ${{({{A}^{*}})}^{-1}}$ và ${{({{A}^{-1}})}^{*}}.$

Giải. Ta sở hữu $\det (A)=85-10m.$ Vậy $A$ khả nghịch$\Leftrightarrow \det (A)\ne 0\Leftrightarrow m\ne \dfrac{17}{2}.$

a) Có ${{A}^{-1}}=\dfrac{1}{\det (A)}{{A}^{*}}$ nên thành phần cần thiết dò thám là

$\dfrac{1}{{\det (A)}}a_{23}^* = \dfrac{1}{{\det (A)}}{A_{32}} = \dfrac{1}{{85 - 10m}}{( - 1)^{3 + 2}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \\ { - 1}&1&0 \\ 3&3&1 \end{array}} \right| = \dfrac{{15}}{{85 - 10m}} = \dfrac{3}{{17 - 2m}}.$

b) Có ${{(6A)}^{-1}}=\dfrac{1}{\det (6A)}{{(6A)}^{*}}=\dfrac{1}{{{6}^{4}}\det (A)}{{6}^{3}}{{A}^{*}}=\dfrac{1}{6\det (A)}{{A}^{*}}.$

Vậy thành phần cần thiết dò thám là $\dfrac{1}{{6\det (A)}}a_{23}^* = \dfrac{1}{{6\det (A)}}{A_{32}} = \dfrac{1}{{6(85 - 10m)}}{( - 1)^{3 + 2}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \\ { - 1}&1&0 \\ 3&3&1 \end{array}} \right| = \dfrac{1}{{2(17 - 2m)}}.$

c) Có ${{(6{A}')}^{-1}}=\dfrac{1}{6\det (A)}{{({A}')}^{*}}.$(Xem bài bác giảng)

d) Có ${({A^*})^{ - 1}} = {({A^{ - 1}})^*} = \dfrac{1}{{\det (A)}}A = \dfrac{1}{{85 - 10m}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&m&2&3 \\ { - 1}&2&1&0 \\ 2&3&0&2 \\ 3&{ - 1}&3&1 \end{array}} \right).$

Ví dụ 2: Cho A là quỷ trận vuông cung cấp n sở hữu toàn bộ những thành phần đều là số vẹn toàn. Chứng minh rằng quỷ trận nghịch tặc hòn đảo ${{A}^{-1}}$ sở hữu toàn bộ những thành phần là số vẹn toàn Lúc và chỉ Lúc $\det (A)=\pm 1.$

Giải. Chú ý ${{a}_{ij}}\in \mathbb{Z}\Rightarrow {{A}_{ij}}\in \mathbb{Z}.$

Nếu $\det (A)=\pm 1\Rightarrow {{A}^{-1}}=\dfrac{1}{\det (A)}{{A}^{*}}=\pm {{A}^{*}}$ sở hữu toàn bộ những thành phần là số vẹn toàn.

Ngược lai nếu như ${{A}^{-1}}$ sở hữu toàn bộ những thành phần là số vẹn toàn thì $\det ({{A}^{-1}})=\dfrac{1}{\det (A)}\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow \det (A)=\pm 1.$

Vậy tao sở hữu điều nên minh chứng.

Tìm quỷ trận nghịch tặc hòn đảo vày công thức tương quan cho tới lăm le thức và quỷ trận phụ hợp ${A^{ - 1}} = \dfrac{1}{{\det (A)}}{A^*}.$

Ví dụ 1: Cho quỷ trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ c&d \end{array}} \right).$ Tìm ĐK của $a,b,c,d$ nhằm quỷ trận $A$ sở hữu quỷ trận nghịch tặc hòn đảo. Khi tê liệt dò thám quỷ trận ${{A}^{-1}}.$

Xem thêm: điểm thi vào 10 năm 2022

Giải. Ta sở hữu $\det (A)=ad-bc.$ Vậy $A$ sở hữu quỷ trận nghịch tặc hòn đảo $\Leftrightarrow \det (A)\ne 0\Leftrightarrow ad-bc\ne 0.$

Khi tê liệt ${A^{ - 1}} = \dfrac{1}{{\det (A)}}{A^*} = \dfrac{1}{{ad - bc}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} d&{ - c} \\ { - b}&a \end{array}} \right).$

Ví dụ 2: Cho quỷ trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \\ { - 1}&0&4 \\ 2&5&{ - 1} \end{array}} \right).$ Tìm quỷ trận nghịch tặc hòn đảo ${{A}^{-1}}$ của $A$ vày công thức ${{A}^{-1}}=\dfrac{1}{\det \left( A \right)}.{{A}^{*}}.$

Giải. Ta sở hữu $\det (A)=-21.$

\[\begin{gathered} {A_{11}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&4 \\ 5&{ - 1} \end{array}} \right| = - đôi mươi,{A_{12}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&4 \\ 2&{ - 1} \end{array}} \right| = 7,{A_{13}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0 \\ 2&5 \end{array}} \right| = - 5 \hfill \\ {A_{21}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3 \\ 5&{ - 1} \end{array}} \right| = 17,{A_{22}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3 \\ 2&{ - 1} \end{array}} \right| = - 7,{A_{23}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \\ 2&5 \end{array}} \right| = - 1 \hfill \\ {A_{31}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3 \\ 0&4 \end{array}} \right| = 8,{A_{32}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3 \\ { - 1}&4 \end{array}} \right| = - 7,{A_{33}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \\ { - 1}&0 \end{array}} \right| = 2 \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy \[{A^{ - 1}} = \dfrac{1}{{\det (A)}}.{A^*} = - \dfrac{1}{{21}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 20}&{17}&8 \\ 7&{ - 7}&{ - 7} \\ { - 5}&{ - 1}&2 \end{array}} \right).\]

Ví dụ 3: Cho quỷ trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3\\ 1&a&3\\ 3&0&2 \end{array}} \right).$

a) Tìm $a$ nhằm $A$ khả nghịch;

b) Với $a=-2,$ bằng phương pháp dò thám quỷ trận ${{(A-3E)}^{-1}}$ theo đuổi quỷ trận phụ phù hợp vận dụng giải phương trình $AX=3X+B$ với \[B = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&{ - 1} \end{array}} \right)^\prime }.\]

Giải. Ta sở hữu $A$ khả nghịch tặc Lúc và chỉ Lúc $\det \left( A \right)=-5a-7\ne 0\Leftrightarrow a\ne -\dfrac{7}{5}.$

Ta sở hữu \[B = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&{ - 1} \end{array}} \right)^\prime } = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ 4 \\ { - 1} \end{array}} \right).\] Phương trình $AX=3X+B\Leftrightarrow \left( A-3E \right)X=B\Leftrightarrow X={{\left( A-3E \right)}^{-1}}B$

Khi $a = - 2 \Rightarrow D = A - 3E = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}&3 \\ 1&{ - 5}&3 \\ 3&0&{ - 1} \end{array}} \right) \Rightarrow \det \left( D \right) = 30$

Ta sở hữu ${D_{11}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5}&3 \\ 0&{ - 1} \end{array}} \right| = 5,{D_{12}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3 \\ 3&{ - 1} \end{array}} \right| = 10,{D_{13}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 5} \\ 3&0 \end{array}} \right| = 15;$

${D_{21}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&3 \\ 0&{ - 1} \end{array}} \right| = - 1,{D_{22}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&3 \\ 3&{ - 1} \end{array}} \right| = - 8,{D_{23}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1} \\ 3&0 \end{array}} \right| = - 3;$

${D_{31}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&3 \\ { - 5}&3 \end{array}} \right| = 12,{D_{32}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&3 \\ 1&3 \end{array}} \right| = 6,{D_{33}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1} \\ 1&{ - 5} \end{array}} \right| = 6$

$ \Rightarrow {D^{ - 1}} = \dfrac{1}{{\det \left( D \right)}}{D^*} = \dfrac{1}{{30}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 1}&{12} \\ {10}&{ - 8}&6 \\ {15}&{ - 3}&6 \end{array}} \right)$

$ \Rightarrow X = {D^{ - 1}}B = \dfrac{1}{{30}}*\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 1}&{12} \\ {10}&{ - 8}&6 \\ {15}&{ - 3}&6 \end{array}} \right)*\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ 4 \\ { - 1} \end{array}} \right) = \dfrac{1}{{30}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1} \\ { - 8} \\ {27} \end{array}} \right).$

Ví dụ 4: Cho quỷ trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b&0 \\ c&0&b \\ 0&c&a \end{array}} \right).$ Tính lăm le thức của quỷ trận $A$ và dò thám ĐK nhằm $A$ khả nghịch tặc. Khi tê liệt hãy tìm ma trận nghịch đảo ${{A}^{-1}}.$

Giải. Khai triển theo đuổi cột 1 tao sở hữu $\det \left( A \right) = a\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&b \\ c&a \end{array}} \right| - c\left| {\begin{array}{*{20}{c}} b&0 \\ c&a \end{array}} \right| = - abc - abc = - 2abc.$

Ma trận $A$ khả nghịch tặc Lúc $\det \left( A \right)\ne 0\Leftrightarrow abc\ne 0.$

Áp dụng công thức ${A^{ - 1}} = \dfrac{1}{{\det \left( A \right)}}{A^*} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{{2a}}}&{\dfrac{1}{{2c}}}&{ - \dfrac{b}{{2ac}}} \\ {\dfrac{1}{{2b}}}&{ - \dfrac{a}{{2bc}}}&{\dfrac{1}{{2c}}} \\ { - \dfrac{c}{{2ab}}}&{\dfrac{1}{{2b}}}&{\dfrac{1}{{2a}}} \end{array}} \right).$

Tìm quỷ trận nghịch tặc hòn đảo vày phép tắc đổi khác sơ cung cấp $(A|E)\to (E|{{A}^{-1}}).$

Ví dụ 1: Tìm quỷ trận nghịch tặc hòn đảo của quỷ trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2&2\\ 2&2&2\\ 2&2&6 \end{array}} \right)$ vày phép tắc đổi khác sơ cung cấp $(A|E)\to (E|{{A}^{-1}}).$

Biến thay đổi sơ cung cấp quỷ trận (A|E)

\[\begin{gathered} (A|E) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2&2&1&0&0 \\ 2&2&2&0&1&0 \\ 2&2&6&0&0&1 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2&2&1&0&0 \\ 0&2&2&{ - 1}&2&0 \\ 0&2&{10}&{ - 1}&0&2 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2&2&1&0&0 \\ 0&2&2&{ - 1}&2&0 \\ 0&0&8&0&{ - 2}&2 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + 4}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + 4}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {16}&8&0&4&2&{ - 2} \\ 0&8&0&{ - 4}&{10}&{ - 2} \\ 0&0&8&0&{ - 2}&2 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {16}&0&0&8&{ - 8}&0 \\ 0&8&0&{ - 4}&{10}&{ - 2} \\ 0&0&8&0&{ - 2}&2 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} \dfrac{{\mathbf{1}}}{{{\mathbf{16}}}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}} \\ \dfrac{{\mathbf{1}}}{{\mathbf{8}}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ \dfrac{{\mathbf{1}}}{{\mathbf{8}}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&{\dfrac{1}{2}}&{ - \dfrac{1}{2}}&0 \\ 0&1&0&{ - \dfrac{1}{2}}&{\dfrac{5}{4}}&{ - \dfrac{1}{4}} \\ 0&0&1&0&{ - \dfrac{1}{4}}&{\dfrac{1}{4}} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy ${A^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{2}}&{ - \dfrac{1}{2}}&0 \\ { - \dfrac{1}{2}}&{\dfrac{5}{4}}&{ - \dfrac{1}{4}} \\ 0&{ - \dfrac{1}{4}}&{\dfrac{1}{4}} \end{array}} \right).$

Ví dụ 2: Cho quỷ trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 3}&1\\ 0&2&3\\ 2&a&5 \end{array}} \right).$

a) Tìm $a$ nhằm $A$ khả nghịch; dò thám thành phần phía trên loại loại nhị và cột loại nhị của quỷ trận ${{A}^{-1}}.$

b) Với $a=-2,$ tìm ma trận nghịch đảo của $A$ bằng phương pháp đổi khác $(A|E)\to (E|{{A}^{-1}}).$ Khi tê liệt dò thám quỷ trận $X$ thoả mãn $AX = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 4}\\ { - 5}&3\\ 1&{ - 5} \end{array}} \right).$

Giải.

a) Ta sở hữu ĐK là $\det (A)=-3(a+4)\ne 0\Leftrightarrow a\ne -4.$ Khi tê liệt thành phần phía trên loại loại nhị và cột loại nhị là $\dfrac{1}{{\det (A)}}{A_{22}} = \dfrac{1}{{ - 3(m + 4)}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 2&5 \end{array}} \right| = - \dfrac{1}{{m + 4}}.$

b) Với $a = - 2 \Rightarrow A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 3}&1\\ 0&2&3\\ 2&{ - 2}&5 \end{array}} \right).$ Khi đó:

\[\begin{gathered} (A|E) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 3}&1&1&0&0 \\ 0&2&3&0&1&0 \\ 2&{ - 2}&5&0&0&1 \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 3}&1&1&0&0 \\ 0&2&3&0&1&0 \\ 0&4&3&{ - 2}&0&1 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 3}&1&1&0&0 \\ 0&2&3&0&1&0 \\ 0&0&{ - 3}&{ - 2}&{ - 2}&1 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + 3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 9}&0&1&{ - 2}&1 \\ 0&2&0&{ - 2}&{ - 1}&1 \\ 0&0&{ - 3}&{ - 2}&{ - 2}&1 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{9}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6&0&0&{ - 16}&{ - 13}&{11} \\ 0&2&0&{ - 2}&{ - 1}&1 \\ 0&0&{ - 3}&{ - 2}&{ - 2}&1 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} \dfrac{{\mathbf{1}}}{{\mathbf{6}}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}} \\ \dfrac{{\mathbf{1}}}{{\mathbf{2}}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ - }}\dfrac{{\mathbf{1}}}{{\mathbf{3}}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&{ - \dfrac{8}{3}}&{ - \dfrac{{13}}{6}}&{\dfrac{{11}}{6}} \\ 0&1&0&{ - 1}&{ - \dfrac{1}{2}}&{\dfrac{1}{2}} \\ 0&0&1&{\dfrac{2}{3}}&{\dfrac{2}{3}}&{ - \dfrac{1}{3}} \end{array}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy ${A^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \dfrac{8}{3}}&{ - \dfrac{{13}}{6}}&{\dfrac{{11}}{6}} \\ { - 1}&{ - \dfrac{1}{2}}&{\dfrac{1}{2}} \\ {\dfrac{2}{3}}&{\dfrac{2}{3}}&{ - \dfrac{1}{3}} \end{array}} \right).$

+) Phương trình quỷ trận: \[AX = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 4} \\ { - 5}&3 \\ 1&{ - 5} \end{array}} \right) \Leftrightarrow X = {A^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 4} \\ { - 5}&3 \\ 1&{ - 5} \end{array}} \right)\]

\[ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \dfrac{8}{3}}&{ - \dfrac{{13}}{6}}&{\dfrac{{11}}{6}} \\ { - 1}&{ - \dfrac{1}{2}}&{\dfrac{1}{2}} \\ {\dfrac{2}{3}}&{\dfrac{2}{3}}&{ - \dfrac{1}{3}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 4} \\ { - 5}&3 \\ 1&{ - 5} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{22}}{3}}&{ - 5} \\ 1&0 \\ { - \dfrac{7}{3}}&1 \end{array}} \right).\]

Tìm quỷ trận nghịch tặc hòn đảo của quỷ trận vuông cung cấp 2, 3, 4 vày Máy tính thế tay

Tìm những quỷ trận $A,{{A}^{-1}},{{A}^{*}},{{\left( {{A}^{*}} \right)}^{-1}},{{\left( {{A}^{-1}} \right)}^{*}}$ lúc biết một trong số quỷ trận đó

Chúng tao áp dụng linh động những quan hệ sau: ${A^*} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{11}}}&{{A_{21}}}&{...}&{{A_{n1}}} \\ {{A_{12}}}&{{A_{22}}}&{...}&{{A_{n2}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {{A_{1n}}}&{{A_{2n}}}&{...}&{{A_{nn}}} \end{array}} \right),{A_{ij}} = {\left( { - 1} \right)^{i + j}}{M_{ij}};\det \left( {{A^{ - 1}}} \right) = \dfrac{1}{{\det \left( A \right)}};\det \left( {{A^*}} \right) = {\left( {\det \left( A \right)} \right)^{n - 1}}$ và ${{A}^{-1}}=\dfrac{1}{\det \left( A \right)}{{A}^{*}};{{\left( {{A}^{*}} \right)}^{-1}}={{\left( {{A}^{-1}} \right)}^{*}}=\dfrac{1}{\det \left( A \right)}A;A={{\left( {{A}^{-1}} \right)}^{-1}};A=\dfrac{1}{{{\left( \det \left( A \right) \right)}^{n-2}}}{{\left( {{A}^{*}} \right)}^{*}}.$

Một số việc minh chứng tương quan cho tới quỷ trận nghịch tặc đảo

Câu 37. Cho 𝐴, 𝐵 là những quỷ trận vuông cung cấp 𝑛 khả nghịch tặc. Giải sử tồn bên trên quỷ trận vuông cung cấp 𝑛 khả nghịch tặc 𝐶 sao cho tới ${{C}^{-1}}ABC$ là quỷ trận lối chéo cánh. Chứng minh rằng tồn bên trên quỷ trận vuông cung cấp 𝑛 khả nghich 𝐷 sao cho tới ${{D}^{-1}}BAD$ là quỷ trận lối chéo cánh.

Câu 37. Theo bài bác đi ra thì ${{C}^{-1}}ABC=P$ với $P$ là quỷ trận lối chéo cánh. Ý tưởng là kể từ phương trình này dò thám đi ra quỷ trận $BA$

$\Rightarrow P..{{C}^{-1}}A={{C}^{-1}}ABC.{{C}^{-1}}A={{C}^{-1}}ABA\Rightarrow C.P{{C}^{-1}}A=C.{{C}^{-1}}ABA=ABA$$\Rightarrow {{A}^{-1}}CP{{C}^{-1}}A={{A}^{-1}}.ABA=BA\left( * \right).$

Đặt $X={{A}^{-1}}C\Rightarrow {{X}^{-1}}={{\left( {{A}^{-1}}C \right)}^{-1}}={{C}^{-1}}A$ vì thế $\left( * \right)\Leftrightarrow XP{{X}^{-1}}=BA\Rightarrow {{X}^{-1}}BAX={{X}^{-1}}XP{{X}^{-1}}X=P$ là một trong những quỷ trận lối chéo cánh. Vậy quỷ trận thoả mãn là $D=X={{A}^{-1}}C.$ Ta sở hữu điều nên minh chứng.

Câu 42. Cho 𝐴 là quỷ trận vuông cung cấp 𝑛 khả nghịch tặc sao cho tới $A+{{A}^{-1}}+E=0.$ Chứng minh rằng $\det \left( A \right)=1.$

Giải. Ta sở hữu $A+{{A}^{-1}}+E=0\Rightarrow A\left( A+{{A}^{-1}}+E \right)=0\Leftrightarrow {{A}^{2}}+A+E=0$

$\Rightarrow \left( A-E \right)\left( {{A}^{2}}+A+E \right)=0\Leftrightarrow {{A}^{3}}-E=0\Leftrightarrow {{A}^{3}}=E$

$\Rightarrow {{\left( \det \left( A \right) \right)}^{3}}=\det \left( {{A}^{3}} \right)=\det \left( E \right)=1\Rightarrow \det \left( A \right)=1.$ Ta sở hữu điều nên minh chứng.

Câu 43. Cho 𝐴, 𝐵 là những quỷ trận vuông cung cấp 𝑛 sao cho tới $A,B$ và $A+B$ khả nghịch tặc thoả mãn ${{\left( A+B \right)}^{-1}}={{A}^{-1}}+{{B}^{-1}}.$ Chứng minh rằng $\det \left( A \right)=\det \left( B \right).$

Giải. Ta sở hữu ${{\left( A+B \right)}^{-1}}={{A}^{-1}}+{{B}^{-1}}\Rightarrow E=\left( A+B \right){{\left( A+B \right)}^{-1}}=\left( A+B \right)\left( {{A}^{-1}}+{{B}^{-1}} \right)$

$\Rightarrow E=A{{A}^{-1}}+A{{B}^{-1}}+B{{A}^{-1}}+B{{B}^{-1}}=A{{B}^{-1}}+B{{A}^{-1}}+2E\Leftrightarrow A{{B}^{-1}}+B{{A}^{-1}}+E=0$

Đặt $X=A{{B}^{-1}}\Rightarrow XB=A{{B}^{-1}}B=A\Rightarrow XB{{A}^{-1}}=A{{A}^{-1}}=E\Rightarrow B{{A}^{-1}}={{X}^{-1}}\Rightarrow X+{{X}^{-1}}+E=0.$

Theo câu 42 suy đi ra $\det \left( X \right)=1$

Khi tê liệt $\det \left( A \right)=\det \left( XB \right)=\det \left( X \right)\det \left( B \right)=\det \left( B \right).$ Ta sở hữu điều nên minh chứng.

Các dạng toán được liệt kê tiếp sau đây, độc giả nhấn vào cụ thể từng dạng nhằm coi cụ thể thêm

Tìm quỷ trận nghịch tặc hòn đảo bằng phương pháp giải hệ phương trình

Xem thêm: cách viết nghị luận xã hội

Ứng dụng quỷ trận nghịch tặc hòn đảo nhằm giải phương trình quỷ trận

Giải phương trình quỷ trận lúc không người sử dụng được quỷ trận nghịch tặc đảo

Chứng minh một quỷ trận suy vươn lên là và quỷ trận khả nghịch