số thuần ảo là gì

Đây là 1 trong những nội dung bài viết cơ phiên bản. Nhấn vô trên đây nhằm hiểu biết thêm vấn đề.

Bách khoa toàn thư há Wikipedia

Bạn đang xem: số thuần ảo là gì

Biểu biểu diễn số phức bên trên mặt mũi bằng phức, với Re (viết tắt cho tới Real, tức là thực) là trục thực, Im (viết tắt cho tới Imaginary, tức là ảo) là trục ảo.
Giải tích toán học tập → Giải tích phức
Giải tích phức
Số phức
  • Số thực
  • Số ảo
  • Mặt bằng phức
  • Số phức liên hợp
  • Số phức đơn vị
Hàm số phức
  • Hàm giải tích
  • Hàm chỉnh hình
  • Phương trình Cauchy–Riemann
  • Chuỗi lũy quá hình thức
Lý thuyết cơ bản
  • Không điểm và đặc biệt điểm
  • Định lý tích phân Cauchy
  • Nguyên hàm địa phương
  • Công thức tích phân Cauchy
  • Số quấn
  • Chuỗi Laurent
  • Điểm kỳ dị cô lập
  • Định lý thặng dư
  • Ánh xạ bảo giác
  • Bổ đề Schwarz
  • Hàm điều hòa
  • Phương trình Laplace
Nhân vật
  • Augustin-Louis Cauchy
  • Leonhard Euler
  • Carl Friedrich Gauss
  • Jacques Hadamard
  • Bernhard Riemann
  • Karl Weierstrass
  •  Cổng vấn đề Toán học
  • x
  • t
  • s

Số phức (tiếng Anh: Complex number) là số hoàn toàn có thể viết lách bên dưới dạng , vô tê liệt ab là những số thực, là đơn vị chức năng ảo, với hoặc .[1] Trong biểu thức này, số a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức. Số phức hoàn toàn có thể được màn trình diễn bên trên mặt mũi bằng phức với trục hoành là trục số thực và trục tung là trục số ảo, vì thế một trong những phức được xác lập bởi vì một điểm với tọa phỏng (a,b). Một số phức nếu như với phần thực bởi vì ko thì gọi là số thuần ảo (số ảo), nếu như với phần ảo bởi vì ko thì trở nên số thực R. Việc không ngừng mở rộng ngôi trường số phức nhằm giải những câu hỏi tuy nhiên ko thể giải vô ngôi trường số thực.

Số phức được dùng trong vô số nhiều nghành nghề khoa học tập, như khoa học tập chuyên môn, năng lượng điện kể từ học tập, cơ học tập lượng tử, toán học tập phần mềm ví dụ như vô lý thuyết láo loàn. Nhà toán học tập người Ý Gerolamo Cardano là kẻ thứ nhất thể hiện số phức. Ông dùng số phức nhằm giải những phương trình bậc thân phụ vô thế kỉ 16.[2]

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Nhà toán học tập người Ý R. Bombelli (1526-1573) đã lấy khái niệm thứ nhất về số phức, khi này được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" vô công trình xây dựng Đại số (Bologne, 1572) công thân phụ không nhiều lâu trước lúc ông tổn thất. Ông tiếp tục khái niệm những số tê liệt (số phức) khi phân tích những phương trình bậc thân phụ và đã lấy rời khỏi căn bậc nhì của .

Nhà toán học tập người Pháp D’Alembert vô năm 1746 tiếp tục xác lập được dạng tổng quát tháo "" của bọn chúng, mặt khác đồng ý nguyên tắc tồn bên trên n nghiệm của một phương trình bậc n. Nhà toán học tập Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã lấy rời khỏi ký hiệu "" nhằm chỉ căn bậc nhì của , năm 1801 Gauss tiếp tục người sử dụng lại ký hiệu này.

Tổng quan[sửa | sửa mã nguồn]

Số phức được chấp nhận giải một phương trình chắc chắn tuy nhiên ko giải được vô ngôi trường số thực. Ví dụ, phương trình

không với nghiệm thực, vì như thế bình phương của một trong những thực ko thể âm. Các số phức được chấp nhận giải phương trình này. Ý tưởng là không ngừng mở rộng ngôi trường số thực quý phái đơn vị chức năng ảo với , vậy nên phương trình bên trên được giải. Trong tình huống này những nghiệm là −1 + 3i−1 − 3i, hoàn toàn có thể ra soát nghiệm khi thế vô phương trình và với :

Thực tế không chỉ có những phương trình bậc nhì tuy nhiên toàn bộ những phương trình đại số với thông số thực hoặc số ảo với cùng 1 trở nên số hoàn toàn có thể giải ngay số phức.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Số phức được màn trình diễn bên dưới dạng , với ab là những số thực và đơn vị ảo, thỏa mãn nhu cầu ĐK . Ví dụ là một trong những phức.

Số thực a được gọi là phần thực của ; số thực b được gọi là phần ảo của . Theo tê liệt, phần ảo không tồn tại chứa chấp đơn vị chức năng ảo: vì thế b, ko cần bi, là phần ảo.[3][4] Phần thực của số phức z được ký hiệu là Re(z) hoặc ℜ(z); phần ảo của phức z được ký hiệu là Im(z) hoặc ℑ(z). Ví dụ:

Do tê liệt, nếu như xét theo gót phần thực và phần ảo, một trong những phức z sẽ tiến hành viết lách là . Biểu thức này đôi lúc được gọi là dạng Cartesi của z.

Một số thực a hoàn toàn có thể được màn trình diễn ở dạng phức là với phần ảo là 0. Số thuần ảo là một trong những phức được viết lách là với phần thực bởi vì 0. Dường như, khi phần ảo âm, nó được viết lách là với chứ không , ví dụ chứ không .

Tập phù hợp toàn bộ những số phức hoặc ngôi trường số phức được ký hiệu là , hoặc . Có nhiều cách thức thiết kế ngôi trường số phức một cơ hội ngặt nghèo bởi vì cách thức định đề.

Gọi là ngôi trường số thực. Ký hiệu là tập trung những cặp (a,b) với .

Trong , khái niệm nhì quy tắc nằm trong và quy tắc nhân như sau:

thì là 1 trong những ngôi trường (xem cấu tạo đại số).

Ta hoàn toàn có thể lập một đơn ánh kể từ tập luyện số thực bằng phương pháp cho từng số thực a ứng với cặp . Khi tê liệt ... Nhờ quy tắc nhúng, tao giống hệt tập luyện những số thực với tập luyện con cái những số phức dạng , khi tê liệt tập luyện những số thực là tập luyện con cái của tập luyện những số phức sẽ là một không ngừng mở rộng của .

Ký hiệu là cặp (0,1) . Ta có

.

Tất cả những số phức dạng được gọi là những số thuần ảo.

Xem thêm: xét học bạ đại học thủy lợi 2023

Một số định nghĩa cần thiết vô ngôi trường số phức[sửa | sửa mã nguồn]

Dạng đại số của số phức[sửa | sửa mã nguồn]

Trong ngôi trường số phức, đặc điểm của đơn vị chức năng ảo đặc thù bởi vì biểu thức

Mỗi số phức z đều được màn trình diễn có một không hai bên dưới dạng:

trong tê liệt a, b là những số thực. Dạng màn trình diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z.

Với cơ hội màn trình diễn bên dưới dạng đại số, quy tắc nằm trong và nhân những số phức được tiến hành như quy tắc nằm trong và nhân những nhị thức hàng đầu với cảnh báo rằng . Như vậy, tao có:

Mặt bằng phức[sửa | sửa mã nguồn]

Trong hệ toạ phỏng Descartes, hoàn toàn có thể người sử dụng trục hoành chỉ tọa phỏng phần thực còn trục tung cho tới tọa phỏng phần ảo nhằm màn trình diễn một trong những phức

Khi tê liệt mặt mũi bằng tọa phỏng được gọi là mặt mũi bằng phức.

Số thực và số thuần ảo[sửa | sửa mã nguồn]

Mỗi số thực sẽ là một trong những phức với .

Ta có:

Nếu , số phức được gọi là thuần ảo.

Số phức liên hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Cho số phức bên dưới dạng đại số , số phức được gọi là số phức phối hợp của z.

Một số đặc điểm của số phức liên hợp:

  1. là một trong những thực.
  2. là một trong những thực
  3. =
  4. =

Module và Argument[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm: độ quý hiếm tuyệt đối

Dạng lượng giác của số phức[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Số phức hoàn toàn có thể viết lách bên dưới dạng

Khi đặt

,

ta có

Cách màn trình diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức .

Phép toán bên trên những số phức viết lách bên dưới dạng lượng giác[sửa | sửa mã nguồn]

  • Phép nhân và quy tắc phân chia những số phức bên dưới dạng lượng giác

Cho nhì số phức bên dưới dạng lượng giác

Xem thêm: vẽ lá cờ việt nam

Khi đó

  • Lũy quá bất ngờ của số phức bên dưới dạng lượng giác (công thức Moirve).
  • Khai số mệnh phức bên dưới dạng lượng giác.

Mọi số phức z không giống 0 đều phải có trúng n căn bậc n, là những số dạng

trong tê liệt ,

Một số ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Các tập trung số[sửa | sửa mã nguồn]

Các tập trung số
: Tập phù hợp số tự động nhiên
: Tập phù hợp số nguyên
: Tập phù hợp số hữu tỉ
: Tập phù hợp số vô tỉ
: Tập phù hợp số thực
: Tập phù hợp số phức

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Hình học tập phức
  • Mặt cầu Riemann (mặt bằng phức há rộng)
  • Giải tích phức
  • Số siêu phức
  • Số nguyên vẹn Gauss
  • Căn bậc hai
  • Công thức Euler

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Charles Phường. McKeague (2011). Elementary Algebra. Brooks/Cole. tr. 524. ISBN 978-0-8400-6421-9.
  2. ^ Burton (1995, tr. 294)
  3. ^ Complex Variables (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outline Series, Mc Graw Hill (USA), ISBN 978-0-07-161569-3
  4. ^ Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007), College Algebra and Trigonometry (ấn phiên bản 6), Cengage Learning, tr. 66, ISBN 0-618-82515-0, Chapter Phường, p. 66

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons được thêm hình hình ảnh và phương tiện đi lại truyền đạt về Số phức.
  • Số phức bên trên Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
Các chủ thể chủ yếu vô toán học
Nền tảng toán học tập | Đại số | Giải tích | Hình học tập | Lý thuyết số | Toán học tập tách rộc rạc | Toán học tập phần mềm |
Toán học tập vui chơi | Toán học tập tô pô | Xác suất thống kê