số hoàn hảo là gì

Bách khoa toàn thư ngỏ Wikipedia

Số trả hảo (hay thường hay gọi là số trả chỉnh, số trả thiện hoặc số trả thành) là một trong những nguyên vẹn dương nhưng mà tổng những ước nguyên vẹn dương thực sự của chính nó (các số nguyên vẹn dương bị nó phân tách không còn nước ngoài trừ nó) vị chủ yếu nó.

Bạn đang xem: số hoàn hảo là gì

Định nghĩa số trả hảo[sửa | sửa mã nguồn]

Số tuyệt vời nhất là những số nguyên vẹn dương n sao cho:

trong bại, s(n) là hàm tổng những ước thực sự của n. Ví dụ:

Hoặc:

trong bại, là hàm tổng những ước của n, bao hàm cả n).

Các số tuyệt vời nhất chẵn[sửa | sửa mã nguồn]

Euclid vẫn tìm hiểu rời khỏi 4 số tuyệt vời nhất nhỏ nhất bên dưới dạng: 2p−1(2p − 1):

Chú ý rằng: 2p − 1 đều là số thành phần trong những ví dụ bên trên, Euclid chứng tỏ rằng công thức: 2p−1(2p − 1) tiếp tục cho tới tớ một trong những tuyệt vời nhất chẵn Lúc và chỉ Lúc 2p − một là số thành phần (số thành phần Mersenne).

Các căn nhà toán học tập cổ xưa gật đầu đồng ý đấy là 4 số tuyệt vời nhất nhỏ nhất mà người ta biết, tuy nhiên hầu như những giả thiết bên trên phía trên đang không được chứng tỏ là trúng. Một nhập số này là nếu như 2, 3, 5, 7 là tư số thành phần thứ nhất thì chắc chắn sẽ có được số hoàn mỹ loại năm Lúc p = 11, số thành phần loại năm. Nhưng 211 − 1 = 2047 = 23 × 89 lại là hợp ý số, và thế là p = 11 ko nhận được số tuyệt vời nhất. 2 sai lầm đáng tiếc không giống của mình là:

Số tuyệt vời nhất loại năm cần sở hữu năm chữ số theo gót hệ cơ số 10 vì thế tư số tuyệt vời nhất thứ nhất sở hữu thứu tự 1, 2, 3, 4 chữ số

Chữ số mặt hàng đơn vị chức năng của số tuyệt vời nhất cần là 6, 8, 6, 8 và cứ thế tái diễn.

Xem thêm: một vài máy tính lớn khác

Số tuyệt vời nhất loại năm là bao hàm 8 chữ số, vậy đánh giá và nhận định 1 vẫn sai, về đánh giá và nhận định thứ hai thì số này tận nằm trong là 6. Tuy nhiên cho tới số tuyệt vời nhất loại sáu là thì cũng tận nằm trong là 6. Nói cách thứ hai bất kể số tuyệt vời nhất chẵn nào thì cũng cần sở hữu chữ số tận nằm trong là 6 hoặc 8.

Để là số thành phần thì ĐK cần thiết tuy nhiên ko đầy đủ là p là số thành phần. Số thành phần sở hữu dạng 2p − 1 được gọi là Số thành phần Mersenne sau thời điểm được một căn nhà tu nhập thế kỷ 17 là Marin Mersenne, người học tập lý thuyết số và số tuyệt vời nhất lần rời khỏi.

Hơn 1000 năm tiếp theo Euclid, Ibn al-Haytham Alhazen circa nhìn thấy rằng từng số tuyệt vời nhất chẵn đều cần sở hữu dạng 2p−1(2p − 1) Lúc 2p − một là số thành phần, tuy nhiên ông tớ ko thể chứng tỏ được thành quả này.[1] Mãi cho tới thế kỷ 18 là Leonhard Euler vẫn chứng tỏ công thức 2p−1(2p − 1) là tiếp tục lần rời khỏi những số tuyệt vời nhất chẵn. Đó là nguyên nhân dẫn cho tới sự tương tác thân thích số tuyệt vời nhất và số thành phần Mersenne. Kết trái khoáy này thông thường được gọi là thuyết Euclid-Euler. Tính đến mon 9 năm 2008, mới mẻ chỉ mất 46 số Mersenne được lần rời khỏi,[2] sở hữu nghĩa đấy là số tuyệt vời nhất loại 46 được biết, số lớn số 1 là 243.112.608 × (243.112.609 − 1) với 25.956.377 chữ số.

39 số tuyệt vời nhất chẵn thứ nhất sở hữu dạng 2p−1(2p − 1) khi

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 (dãy số A000043 nhập bảng OEIS)

7 số không giống được biết là lúc p = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 43112609. Chưa ai biết là sở hữu nhằm sót số này thân thích bọn chúng hoặc không

Cũng không có bất kì ai biết chắc chắn là là sở hữu vô hạn số thành phần Mersenne và số tuyệt vời nhất hay là không. Việc lần rời khỏi những số thành phần Mersenne vừa được tiến hành vị những siêu máy tính

Các số tuyệt vời nhất đều là số tam giác loại 2p − 1 (là tổng của toàn bộ những số ngẫu nhiên từ một cho tới 2p − 1):

p = 2:
p = 3:
p = 5:
p = 7:

Các số tuyệt vời nhất đều là tổng hợp chập 2 của 2p:

p = 2:
p = 3:
p = 5:
p = 7:

Các số tuyệt vời nhất đều sở hữu tổng những nghịch tặc hòn đảo của những ước (kể cả chủ yếu nó) trúng vị 2:

6:
28:
496:
8128:

Số 6 là số ngẫu nhiên độc nhất sở hữu tổng những ước vị tích những ước (không kể chủ yếu nó):

Trừ số 6, từng số tuyệt vời nhất đều là tổng của 2(p−1)/2 số lập phương lẻ thường xuyên kể từ 13 cho tới (2(p+1)/2 − 1)3:

Xem thêm: vẽ tranh bảo vệ môi trường lớp 3

p = 3:
p = 5:
p = 7:

Trừ số 6, từng số tuyệt vời nhất Lúc phân tách 9 thì đều nhận được thương là số tam giác loại (2p − 2)/3 và số dư là 1:

p = 3:
p = 5:
p = 7:

Số tuyệt vời nhất lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Hiện bên trên người tớ vẫn không biết được liệu số tuyệt vời nhất lẻ này ko tuy nhiên vẫn có khá nhiều thành quả nghiên cứu và phân tích. Trong 1946, Jacques Lefèvre tuyên bố rằng luật của Euclid cho tới từng số trả hảo[3], tức thị nhận định rằng không tồn tại số tuyệt vời nhất lẻ này tồn bên trên cả. Euler thì rằng rằng: "Liệu ... sở hữu số tuyệt vời nhất lẻ này là thắc mắc rất rất khó khăn hoàn toàn có thể giải đáp".[4] Gần phía trên rộng lớn, Carl Pomerance đã mang rời khỏi bàn bạc vị heuristic rằng quả thực ko số tuyệt vời nhất lẻ này nên tồn bên trên [5] Tất cả những số tuyệt vời nhất đều là số điều tiết của Ore và thời điểm hiện tại người tớ vẫn đang được fake thuyết không tồn tại số điều tiết lẻ này nước ngoài trừ số 1.

Bất cứ số tuyệt vời nhất lẻ N cần thỏa mãn nhu cầu những ĐK sau:

  • N > 101500.[6]
  • N ko phân tách không còn vị 105.[7]
  • N bên dưới dạng N ≡ 1 (mod 12) hoặc N ≡ 117 (mod 468) hoặc N ≡ 81 (mod 324).[8]
  • N bên dưới dạng
trong đó:

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Danh sách số thành phần Mersenne và số trả hảo

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham”, Bộ tàng trữ lịch sử dân tộc toán học tập MacTutor, Đại học tập St. Andrews
  2. ^ “Great Internet Mersenne Prime Search”. Truy cập 7 mon 10 năm 2015.
  3. ^ Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. tr. 6.
  4. ^ http://www.math.harvard.edu/~knill/seminars/perfect/handout.pdf[liên kết URL chỉ mất từng PDF]
  5. ^ Oddperfect.org. Lưu trữ 2006-12-29 bên trên Wayback Machine
  6. ^ a b c Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2012). “Odd perfect numbers are greater kêu ca 101500(PDF). Mathematics of Computation. 81 (279): 1869–1877. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. ISSN 0025-5718. Zbl 1263.11005.
  7. ^ Kühnel, Ullrich (1950). “Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen”. Mathematische Zeitschrift (bằng giờ Đức). 52: 202–211. doi:10.1007/BF02230691. S2CID 120754476.
  8. ^ Roberts, T (2008). “On the Form of an Odd Perfect Number” (PDF). Australian Mathematical Gazette. 35 (4): 244.
  9. ^ a b Zelinsky, Joshua (3 mon 8 năm 2021). “On the Total Number of Prime Factors of an Odd Perfect Number” (PDF). Integers. 21. Truy cập ngày 7 mon 8 năm 2021.
  10. ^ Chen, Yong-Gao; Tang, Cui-E (2014). “Improved upper bounds for odd multiperfect numbers”. Bulletin of the Australian Mathematical Society. 89 (3): 353–359. doi:10.1017/S0004972713000488.
  11. ^ Nielsen, Pace Phường. (2003). “An upper bound for odd perfect numbers”. Integers. 3: A14–A22. Truy cập ngày 23 mon 3 năm 2021.
  12. ^ Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2014). “On the number of prime factors of an odd perfect number”. Mathematics of Computation. 83 (289): 2435–2439. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02776-7.
  13. ^ Pomerance, Carl; Luca, Florian (2010). “On the radical of a perfect number”. New York Journal of Mathematics. 16: 23–30. Truy cập ngày 7 mon 12 năm 2018.
  14. ^ Goto, T; Ohno, Y (2008). “Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108(PDF). Mathematics of Computation. 77 (263): 1859–1868. Bibcode:2008MaCom..77.1859G. doi:10.1090/S0025-5718-08-02050-9. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 7 mon 8 năm 2011. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.
  15. ^ Konyagin, Sergei; Acquaah, Peter (2012). “On Prime Factors of Odd Perfect Numbers”. International Journal of Number Theory. 8 (6): 1537–1540. doi:10.1142/S1793042112500935.
  16. ^ Iannucci, DE (1999). “The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand” (PDF). Mathematics of Computation. 68 (228): 1749–1760. Bibcode:1999MaCom..68.1749I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01126-6. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.
  17. ^ Zelinsky, Joshua (tháng 7 năm 2019). “Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number”. International Journal of Number Theory. 15 (6): 1183–1189. arXiv:1810.11734. doi:10.1142/S1793042119500659. S2CID 62885986..
  18. ^ Iannucci, DE (2000). “The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred” (PDF). Mathematics of Computation. 69 (230): 867–879. Bibcode:2000MaCom..69..867I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01127-8. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.
  19. ^ Bibby, Sean; Vyncke, Pieter; Zelinsky, Joshua (23 mon 11 năm 2021). “On the Third Largest Prime Divisor of an Odd Perfect Number” (PDF). Integers. 21. Truy cập ngày 6 mon 12 năm 2021.
  20. ^ Nielsen, Pace Phường. (2015). “Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds” (PDF). Mathematics of Computation. 84 (295): 2549–2567. doi:10.1090/S0025-5718-2015-02941-X. Truy cập ngày 13 mon 8 năm 2015.
  21. ^ Nielsen, Pace Phường. (2007). “Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors” (PDF). Mathematics of Computation. 76 (260): 2109–2126. arXiv:math/0602485. Bibcode:2007MaCom..76.2109N. doi:10.1090/S0025-5718-07-01990-4. S2CID 2767519. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
  • Perfect numbers - History and Theory
  • Weisstein, Eric W., "perfect number", MathWorld.
  • List of Perfect Numbers Lưu trữ 2001-07-15 bên trên Wayback Machine at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  • List of known Perfect Numbers Lưu trữ 2009-05-03 bên trên Wayback Machine All known perfect numbers are here.
  • OddPerfect.org Lưu trữ 2018-11-06 bên trên Wayback Machine A projected distributed computing project đồ sộ tìm kiếm for odd perfect numbers.