phần ảo của số phức

Đây là 1 nội dung bài viết cơ phiên bản. Nhấn vô phía trên nhằm hiểu biết thêm vấn đề.

Bách khoa toàn thư há Wikipedia

Bạn đang xem: phần ảo của số phức

Biểu thao diễn số phức bên trên mặt mũi bằng phẳng phức, với Re (viết tắt mang đến Real, tức thị thực) là trục thực, Im (viết tắt mang đến Imaginary, tức thị ảo) là trục ảo.
Giải tích toán học tập → Giải tích phức
Giải tích phức
Số phức
  • Số thực
  • Số ảo
  • Mặt bằng phẳng phức
  • Số phức liên hợp
  • Số phức đơn vị
Hàm số phức
  • Hàm giải tích
  • Hàm chỉnh hình
  • Phương trình Cauchy–Riemann
  • Chuỗi lũy quá hình thức
Lý thuyết cơ bản
  • Không điểm và vô cùng điểm
  • Định lý tích phân Cauchy
  • Nguyên hàm địa phương
  • Công thức tích phân Cauchy
  • Số quấn
  • Chuỗi Laurent
  • Điểm kỳ dị cô lập
  • Định lý thặng dư
  • Ánh xạ bảo giác
  • Bổ đề Schwarz
  • Hàm điều hòa
  • Phương trình Laplace
Nhân vật
  • Augustin-Louis Cauchy
  • Leonhard Euler
  • Carl Friedrich Gauss
  • Jacques Hadamard
  • Bernhard Riemann
  • Karl Weierstrass
  •  Cổng vấn đề Toán học
  • x
  • t
  • s

Số phức (tiếng Anh: Complex number) là số rất có thể viết lách bên dưới dạng , vô ê ab là những số thực, là đơn vị chức năng ảo, với hoặc .[1] Trong biểu thức này, số a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức. Số phức rất có thể được màn trình diễn bên trên mặt mũi bằng phẳng phức với trục hoành là trục số thực và trục tung là trục số ảo, vì thế một số trong những phức được xác lập vì chưng một điểm đem tọa chừng (a,b). Một số phức nếu như đem phần thực vì chưng ko thì gọi là số thuần ảo (số ảo), nếu như đem phần ảo vì chưng ko thì phát triển thành số thực R. Việc không ngừng mở rộng ngôi trường số phức nhằm giải những việc nhưng mà ko thể giải vô ngôi trường số thực.

Số phức được dùng trong vô số nhiều nghành nghề khoa học tập, như khoa học tập nghệ thuật, năng lượng điện kể từ học tập, cơ học tập lượng tử, toán học tập phần mềm ví dụ như vô lý thuyết láo loàn. Nhà toán học tập người Ý Gerolamo Cardano là kẻ thứ nhất thể hiện số phức. Ông dùng số phức nhằm giải những phương trình bậc thân phụ vô thế kỉ 16.[2]

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Nhà toán học tập người Ý R. Bombelli (1526-1573) đã lấy khái niệm thứ nhất về số phức, khi này được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" vô dự án công trình Đại số (Bologne, 1572) công thân phụ không nhiều lâu trước lúc ông mất mặt. Ông tiếp tục khái niệm những số ê (số phức) Lúc nghiên cứu và phân tích những phương trình bậc thân phụ và đã lấy đi ra căn bậc nhị của .

Nhà toán học tập người Pháp D’Alembert vô năm 1746 tiếp tục xác lập được dạng tổng quát lác "" của bọn chúng, đôi khi đồng ý nguyên tắc tồn bên trên n nghiệm của một phương trình bậc n. Nhà toán học tập Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã lấy đi ra ký hiệu "" nhằm chỉ căn bậc nhị của , năm 1801 Gauss tiếp tục người sử dụng lại ký hiệu này.

Tổng quan[sửa | sửa mã nguồn]

Số phức được cho phép giải một phương trình chắc chắn nhưng mà ko giải được vô ngôi trường số thực. Ví dụ, phương trình

không đem nghiệm thực, vì thế bình phương của một số trong những thực ko thể âm. Các số phức được cho phép giải phương trình này. Ý tưởng là không ngừng mở rộng ngôi trường số thực thanh lịch đơn vị chức năng ảo với , bởi vậy phương trình bên trên được giải. Trong tình huống này những nghiệm là −1 + 3i−1 − 3i, rất có thể soát lại nghiệm Lúc thế vô phương trình và với :

Thực tế không chỉ có những phương trình bậc nhị nhưng mà toàn bộ những phương trình đại số đem thông số thực hoặc số ảo với cùng một đổi thay số rất có thể giải thông qua số phức.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Số phức được màn trình diễn bên dưới dạng , với ab là những số thực và đơn vị ảo, vừa lòng ĐK . Ví dụ là một số trong những phức.

Số thực a được gọi là phần thực của ; số thực b được gọi là phần ảo của . Theo ê, phần ảo không tồn tại chứa chấp đơn vị chức năng ảo: vì thế b, ko nên bi, là phần ảo.[3][4] Phần thực của số phức z được ký hiệu là Re(z) hoặc ℜ(z); phần ảo của phức z được ký hiệu là Im(z) hoặc ℑ(z). Ví dụ:

Do ê, nếu như xét theo gót phần thực và phần ảo, một số trong những phức z sẽ tiến hành viết lách là . Biểu thức này thỉnh thoảng được gọi là dạng Cartesi của z.

Một số thực a rất có thể được màn trình diễn ở dạng phức là với phần ảo là 0. Số thuần ảo là một số trong những phức được viết lách là với phần thực vì chưng 0. Trong khi, Lúc phần ảo âm, nó được viết lách là với thay cho , ví dụ thay cho .

Tập ăn ý toàn bộ những số phức hoặc ngôi trường số phức được ký hiệu là , hoặc . Có nhiều cách thức thi công ngôi trường số phức một cơ hội nghiêm ngặt vì chưng cách thức định đề.

Gọi là ngôi trường số thực. Ký hiệu là tụ hội những cặp (a,b) với .

Trong , khái niệm nhị phép tắc nằm trong và phép tắc nhân như sau:

thì là 1 ngôi trường (xem cấu tạo đại số).

Ta rất có thể lập một đơn ánh kể từ tập dượt số thực bằng phương pháp cho từng số thực a ứng với cặp . Khi ê ... Nhờ phép tắc nhúng, tao tương đồng tập dượt những số thực với tập dượt con cái những số phức dạng , Lúc ê tập dượt những số thực là tập dượt con cái của tập dượt những số phức sẽ là một không ngừng mở rộng của .

Ký hiệu là cặp (0,1) . Ta có

.

Tất cả những số phức dạng được gọi là những số thuần ảo.

Xem thêm: mong ước kỉ niệm xưa

Một số định nghĩa cần thiết vô ngôi trường số phức[sửa | sửa mã nguồn]

Dạng đại số của số phức[sửa | sửa mã nguồn]

Trong ngôi trường số phức, đặc điểm của đơn vị chức năng ảo đặc thù vì chưng biểu thức

Mỗi số phức z đều được màn trình diễn có một không hai bên dưới dạng:

trong ê a, b là những số thực. Dạng màn trình diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z.

Với cơ hội màn trình diễn bên dưới dạng đại số, phép tắc nằm trong và nhân những số phức được triển khai như phép tắc nằm trong và nhân những nhị thức hàng đầu với cảnh báo rằng . Như vậy, tao có:

Mặt bằng phẳng phức[sửa | sửa mã nguồn]

Trong hệ toạ chừng Descartes, rất có thể người sử dụng trục hoành chỉ tọa chừng phần thực còn trục tung mang đến tọa chừng phần ảo nhằm màn trình diễn một số trong những phức

Khi ê mặt mũi bằng phẳng tọa chừng được gọi là mặt mũi bằng phẳng phức.

Số thực và số thuần ảo[sửa | sửa mã nguồn]

Mỗi số thực sẽ là một số trong những phức đem .

Ta có:

Nếu , số phức được gọi là thuần ảo.

Số phức liên hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Cho số phức bên dưới dạng đại số , số phức được gọi là số phức phối hợp của z.

Một số đặc điểm của số phức liên hợp:

  1. là một số trong những thực.
  2. là một số trong những thực
  3. =
  4. =

Module và Argument[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm: độ quý hiếm tuyệt đối

Dạng lượng giác của số phức[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Số phức rất có thể viết lách bên dưới dạng

Khi đặt

,

ta có

Cách màn trình diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức .

Phép toán bên trên những số phức viết lách bên dưới dạng lượng giác[sửa | sửa mã nguồn]

  • Phép nhân và phép tắc phân tách những số phức bên dưới dạng lượng giác

Cho nhị số phức bên dưới dạng lượng giác

Xem thêm: where is my umbrella she asked

Khi đó

  • Lũy quá đương nhiên của số phức bên dưới dạng lượng giác (công thức Moirve).
  • Khai số phận phức bên dưới dạng lượng giác.

Mọi số phức z không giống 0 đều sở hữu trúng n căn bậc n, là những số dạng

trong ê ,

Một số ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Các tụ hội số[sửa | sửa mã nguồn]

Các tụ hội số
: Tập ăn ý số tự động nhiên
: Tập ăn ý số nguyên
: Tập ăn ý số hữu tỉ
: Tập ăn ý số vô tỉ
: Tập ăn ý số thực
: Tập ăn ý số phức

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Hình học tập phức
  • Mặt cầu Riemann (mặt bằng phẳng phức há rộng)
  • Giải tích phức
  • Số siêu phức
  • Số vẹn toàn Gauss
  • Căn bậc hai
  • Công thức Euler

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Charles Phường. McKeague (2011). Elementary Algebra. Brooks/Cole. tr. 524. ISBN 978-0-8400-6421-9.
  2. ^ Burton (1995, tr. 294)
  3. ^ Complex Variables (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outline Series, Mc Graw Hill (USA), ISBN 978-0-07-161569-3
  4. ^ Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007), College Algebra and Trigonometry (ấn phiên bản 6), Cengage Learning, tr. 66, ISBN 0-618-82515-0, Chapter Phường, p. 66

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons đạt thêm hình hình ảnh và phương tiện đi lại truyền đạt về Số phức.
  • Số phức bên trên Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
Các chủ thể chủ yếu vô toán học
Nền tảng toán học tập | Đại số | Giải tích | Hình học tập | Lý thuyết số | Toán học tập rời rộc rạc | Toán học tập phần mềm |
Toán học tập vui chơi giải trí | Toán học tập tô pô | Xác suất thống kê