giải phương trình bậc 2

A. Phương trình bậc 2 là gì?

Phương trình bậc 2 là phương trình đem dạng ax2+bx+c=0 (a≠0) (1).

Giải phương trình bậc 2 là đi kiếm những độ quý hiếm của x sao cho tới khi thay cho x nhập phương trình (1) thì thỏa mãn nhu cầu ax2+bx+c=0.

Bạn đang xem: giải phương trình bậc 2

B. Giải phương trình bậc 2

Bước 1: Tính Δ=b2-4ac

Bước 2: So sánh Δ với 0

  • Δ < 0 => phương trình (1) vô nghiệm
  • Δ = 0 => phương trình (1) đem nghiệm kép x_{1} =x_{2} = - \frac{b}{2a}
  • Δ > 0 => phương trình (1) đem 2 nghiệm phân biệt, tớ sử dụng công thức nghiệm sau:

x_{1} =\frac{-b+\sqrt{\triangle } }{2a}x_{2} =\frac{-b-\sqrt{\triangle } }{2a}

C. Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai

Cách giải phương trình bậc 2
Cách giải phương trình bậc 2

D. Sử dụng Hệ thức Vi – et

Định lí Vi – ét

Nếu x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq
0) thì \left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a} \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\\end{matrix} \right.

Định lí Vi - et đảo

Nếu nhì số x_{1};x_{2} \left\{ \begin{matrix}
S = x_{1} + x_{2} \\
P = x_{1}.x_{2} \\
\end{matrix} \right. thì x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình x^{2} - Sx + P.. = 0, (x_{1};x_{2} tồn tại lúc S^{2} - 4P \geq 0)

E. Ví dụ giải phương trình bậc hai

Ví dụ 1: Giải phương trình bậc nhì sau: x^{2} - 49x - 50 = 0

Hướng dẫn giải

Cách 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = -49; c = -50)

\begin{matrix}
\Delta = ( - 49)^{2} - 4.1.( - 50) = 2601 \\
\Rightarrow \sqrt{\Delta} = 51 \\
\end{matrix}

Do ∆ > 0 nên phương trình đem nhì nghiệm phân biệt \left\{ \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{- ( - 49) - 51}{2} = - 1 \\x_{2} = \dfrac{- ( - 49) + 51}{2} = 50 \\\end{matrix} \right.

Cách 2: Nhẩm nghiệm

Do a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0

Nên phương trình đem nhì nghiệm \left\{
\begin{matrix}
x_{1} = - 1 \\
x_{2} = 50 \\
\end{matrix} \right.

Cách 3: \Delta = ( -
49)^{2} - 4.1.( - 50) = 2601 > 0

Theo tấp tểnh lí Vi – et tớ có:

\left\{ \begin{matrix}
S = x_{1} + x_{2} = 49 = ( - 1) + 50 \\
P = x_{1}.x_{2} = - 50 = ( - 1).50 \\
\end{matrix} \right.

Vậy phương trình đem nhì nghiệm: \left\{\begin{matrix}x_{1} = - 1 \\x_{2} = - \dfrac{- 50}{1} = 50 \\\end{matrix} \right.

Ví dụ 2: Giải phương trình 4x2 - 2x - 6 = 0 (2)

Δ=(-2)2 - 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => phương trình (2) vẫn cho tới đem 2 nghiệm phân biệt.

x_{1} =\frac{-(-2)+\sqrt{100} }{2.4} =\tfrac{3}{2}x_{2} = \frac{-(-2)-\sqrt{100} }{2.4} =-1

Bạn cũng hoàn toàn có thể nhẩm Theo phong cách nhẩm nghiệm thời gian nhanh, vì như thế nhận biết 4-(-2)+6=0, nên x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. Nghiệm vẫn như là phía trên.

Ví dụ 3: Giải phương trình 2x2 - 7x + 3 = 0 (3)

Xem thêm: sông nào dài nhất thế giới

Tính Δ = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) đem 2 nghiệm phân biệt:

x_{1} =\frac{-(-7)+\sqrt{25} }{2.2} = 3x_{1} =\frac{-(-7)-\sqrt{25} }{2.2} = \frac{1}{2}

Để đánh giá coi chúng ta vẫn tính nghiệm đúng không nào rất dễ dàng, chỉ việc thay cho theo lần lượt x1, x2 nhập phương trình 3, nếu như đi ra thành phẩm vì như thế 0 là chuẩn chỉnh. Ví dụ thay cho x1, 2.32-7.3+3=0.

Ví dụ 4: Giải phương trình 3x2 + 2x + 5 = 0 (4)

Tính Δ = 22 - 4.3.5 = -56 < 0 => phương trình (4) vô nghiệm.

Ví dụ 5: Giải phương trình x2 – 4x +4 = 0 (5)

Tính Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 0 => phương trình (5) đem nghiệm kép:

x_{1} =x_{2} =\frac{-(-4)}{2.1} =2

Thực đi ra nếu như thời gian nhanh ý, chúng ta cũng hoàn toàn có thể nom đi ra trên đây đó là hằng đẳng thức kỷ niệm (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 nên đơn giản dễ dàng viết lách lại (5) trở nên (x - 2)2 = 0 <=> x=2.

F. Phân tích nhiều thức trở nên nhân tử

Nếu phương trình (1) đem 2 nghiệm phân biệt x1, x2, khi này chúng ta cũng hoàn toàn có thể viết lách nó về dạng sau: ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0.

Trở lại với phương trình (2), sau thời điểm dò thám đi ra 2 nghiệm x1, x2 bạn cũng có thể viết lách nó về dạng: 4(x-3/2)(x+1)=0.

G. Giải phương trình bậc nhì chứa chấp tham ô số

1. Phương trình đem nghiệm \Leftrightarrow
\Delta \geq 0

2. Phương trình vô nghiệm \Leftrightarrow
\Delta < 0

3. Phương trình đem nghiệm độc nhất (Nghiệm kép hoặc nhì nghiệm vì như thế nhau) \Leftrightarrow \Delta =
0

4. Phương trình đem nhì nghiệm phân biệt (khác nhau) \Leftrightarrow \Delta > 0

5. Phương trình đem nhì nghiệm nằm trong vết \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta \geq 0 \\
P > 0 \\
\end{matrix} \right.

6. Phương trình đem nhì nghiệm trái khoáy vết \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta > 0 \\
P < 0 \\
\end{matrix} \right.\  \Leftrightarrow a.c < 0

7. Phương trình đem nhì nghiệm dương (Hai nghiệm to hơn 0) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta \geq 0 \\
\begin{matrix}
S > 0 \\
P > 0 \\
\end{matrix} \\
\end{matrix} \right.

8. Phương trình đem nhì nghiệm âm (Hai nghiệm nhỏ rộng lớn 0) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta \geq 0 \\
\begin{matrix}
S < 0 \\
P > 0 \\
\end{matrix} \\
\end{matrix} \right.

9. Phương trình đem nhì nghiệm đối nhau \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta \geq 0 \\
S = 0 \\
\end{matrix} \right.

10. Hai nghiệm nghịch tặc hòn đảo nhau \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta \geq 0 \\
P = 1 \\
\end{matrix} \right.

Xem thêm: công thức tính tam giác

Điều cần thiết ghi nhớ:\left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a} \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\\end{matrix} \right.

Đi ngay tắp lự với phương trình bậc 2 còn tồn tại tấp tểnh lý Vi-et với thật nhiều phần mềm như tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 vẫn thưa phía trên, dò thám 2 số lúc biết tổng và tích, xác lập vết của những nghiệm, hoặc phân tách trở nên nhân tử. Đây đều là những kỹ năng quan trọng tiếp tục gắn sát với chúng ta nhập quy trình học tập đại số, hoặc những bài xích tập dượt giải và biện luận phương trình bậc 2 trong tương lai, nên cần thiết ghi ghi nhớ kỹ và thực hành thực tế cho tới thuần thục.

Nếu đem dự định theo đuổi học tập xây dựng, chúng ta cũng cần phải có những kỹ năng toán cơ phiên bản, thậm chí là kỹ năng toán nâng cao, tùy nằm trong nhập dự án công trình các bạn sẽ thực hiện.