chứng minh tam giác đồng dạng

Phương pháp chứng tỏ nhị tam giác đồng dạng và phần mềm.

gia su toan lop 8 - nhị tam giac dong dang

Bạn đang xem: chứng minh tam giác đồng dạng

các tình huống đồng dạng của tam giác thông thường :

Trường hợp ý đồng dạng 1 : 3 cạnh ứng tỉ lệ thành phần với nhau (c – c – c)

xét ∆ABC và ∆DEF, tớ đem :

\frac{AB}{DE} =\frac{AC}{DF} =\frac{BC}{EF}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (c – c – c)

Trường hợp ý đồng dạng 2 : 2 cạnh ứng tỉ lệ thành phần cùng nhau – góc xen thân thiện nhị cạnh vì chưng nhau(c – g – c)

xét ∆ABC và ∆DEF, tớ đem :

\frac{AB}{DE} =\frac{AC}{DF}

\widehat{A}=\widehat{D}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (c – g – c)

Trường hợp ý đồng dạng 3 : nhị góc ứng vì chưng nhau(g – g)

xét ∆ABC và ∆DEF, tớ đem :

\widehat{A}=\widehat{D}

\widehat{B}=\widehat{E}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (g – g)

II > Các tấp tểnh lí đồng dạng của nhị tam giác vuông

1. Định lí 1 : (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ thành phần với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác cơ thì nhị tam giác đồng dạng.
2. Định lí 2 : (hai cạnh góc vuông)
Nếu nhị cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ thành phần với nhị cạnh góc vuông của tam giác cơ thì nhị tam giác đồng dạng.
3. Định lí 3 : ( góc)
Nếu góc nhọn của tam giác này vì chưng góc nhọn của tam giác cơ thì nhị tam giác đồng dạng.

giải bài bác luyện :

Dạng 1 : chứng tỏ nhị tam giác đồng dạng – hệ thức :


Bài toán 1 :

cho ∆ABC (AB < AC), đem AD là đàng phân giác nhập. Tại miền ngoài ∆ABC vẽ tia Cx sao cho \widehat{BCx}=\widehat{BAD} . Gọi I là phú điểm của Cx và AD. cmr :

a) ∆ADB đồng dạng ∆CDI.

b) \frac{AD}{AC} =\frac{AB}{AI}

c) AD2 = AB.AC – BD.DC

GIẢI.

a)∆ADB và ∆CDI , tớ đem :gia su toan lop 8 - tam giac dong dang

\widehat{BCx}=\widehat{BAD} (gt)

\widehat{D_1}=\widehat{D_2} (đối đỉnh)

=> ∆ADB ~ ∆CDI

b) )∆ABD và ∆AIC , tớ đem :

\widehat{B}=\widehat{I} (∆ADB ~ ∆CDI)

\widehat{A_1}=\widehat{A_2} (AD là phân giác)

=> ∆ABD ~ ∆AIC

=>\frac{AD}{AC} =\frac{AB}{AI}

c)=> AD.AI = AB.AC (1)

mà : \frac{AD}{CD} =\frac{BD}{DI}  (∆ADB ~ ∆CDI )

=> AD.DI = BD.CD (2)

từ (1) và (2) :

AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD(AI – DI ) = AD.AD = AD2


bài toán 2 :

Cho tam giác ABC vuông bên trên A, đem đàng cao AH . chứng tỏ những hệ thức :

  1. AB2 = BH.BC và AC2 = CH.BC
  2. AB2 +AC2 = BC2
  3. AH2 = BH.CH
  4. AH.BC = AB.AC

Giải.

hai tam giac vuong dong dang

gia su toan lop 8

1. AC2 = CH.BC :

Xét nhị ∆ABC và ∆ HAC, tớ đem :

\widehat{BAC} =\widehat{ AHC} =90^0

\widehat{C} là góc cộng đồng.

=> ∆ABC ~ ∆HAC (g – g)

=> \frac{AC}{HC}=\frac{BC}{AC}

=> AC2 = CH.BC (1)

Cmtt : AB2 = BH.BC (2)

2. AB2 +AC2 = BC2

Từ (1) và (2), tớ đem :

AB2 +AC2 = BH.BC + CH.BC = (BH + CH)BC = BC2

3.AH2 = BH.CH :

Xét nhị ∆HBA và ∆ HAC, tớ đem :

\widehat{BHC} =\widehat{ AHC} =90^0

\widehat{ABH} =\widehat{ HAC}  cùng phụ \widehat{BAH}

=> ∆HBA ~ ∆HAC (g – g)

Xem thêm: thi thử lý thuyết b1

=> \frac{HA}{HC}=\frac{HB}{HA}

=> AH2 = BH.CH

4. AH.BC = AB.AC :

Ta đem : \frac{HA}{AB}=\frac{AC}{BC} (∆ABC ~ ∆HAC)

=> AH.BC = AB.AC.


Dạng 2 : chứng tỏ nhị tam giác đồng dạng – tấp tểnh lí talet + hai tuyến phố trực tiếp tuy nhiên song :

bài toán :

Cho ∆ABC nhọn. kẻ đàng cao BD và CE. vẽ những đàng cao DF và EG của ∆ADE. Chứng minh :

a) ∆ABD đồng dạng ∆AEG.

b) AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) FG // BC

GIẢI.

a) xét ∆ABD và ∆AEG, tớ đem :gia su toan lop 8 - tam giac dong dang dinh cơ li talet

BD \bot  AC (BD là đàng cao)

EG \bot  AC (EG là đàng cao)

=> BD // EG

=> ∆ABD ~ ∆AGE

b) => \frac{AB}{AE} =\frac{AD}{AG}

=> AD.AE = AB.AG (1)

cmtt, tớ được : AD.AE = AC.AF (2)

từ (1) và (2) suy đi ra :

AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) xét ∆ABC, tớ đem :

AB.AG = AC.AF (cmt)

\frac{AB}{AF} =\frac{AC}{AG}

=> FG // BC (định lí hòn đảo talet)


Dạng 3 : chứng tỏ nhị tam giác đồng dạng – góc ứng đều bằng nhau :

bài toán :

Cho ∆ABC đem những đàng cao BD và CE hạn chế nhau bên trên H. Chứng minh :

a) ∆HBE đồng dạng ∆HCE.

b) ∆HED đồng dạng ∆HBC và \widehat{HDE}=\widehat{HAE}

c) cho biết thêm BD = CD. Gọi M là phú điểm của AH và BC. chứng tỏ : DE vuông góc EM.

GIẢI.

a)xét ∆HBE và ∆HCD, tớ đem :gia su toan lop 8 - nhị tam giac dong dang - goc bang nhau

\widehat{BEH}=\widehat{CDH}=90^0 (gt)

\widehat{H_1}=\widehat{H_2} (đối đỉnh)

=> ∆HBE ~ ∆HCD (g – g)

b) ∆HED và ∆HBC, tớ đem :

\frac{HE}{HD} =\frac{HB}{HC} (∆HBE ~ ∆HCD)

=>\frac{HE}{HB} =\frac{HD}{HC}

\widehat{EHD}=\widehat{CHB} (đối đỉnh)

=> ∆HED ~ ∆HBC (c – g – c)

=> \widehat{D_1}=\widehat{C_1} (1)

mà : đàng cao BD và CE hạn chế nhau bên trên H (gt)

=> H là trực tâm.

=> AH \bot  BC bên trên M.

=>\widehat{A_1}+\widehat{ABC}=90^0

mặt không giống : \widehat{C_1}+\widehat{ABC}=90^0

=>\widehat{A_1}=\widehat{C_1} (2)

từ (1) và (2) : \widehat{A_1}=\widehat{D_1}

hay : \widehat{HDE}=\widehat{HAE}

c) cmtt câu b, tớ được : \widehat{A_2}=\widehat{E_2} (3)

xét ∆BCD, tớ đem :

DB = DC (gt)

=> ∆BCD cân nặng bên trên D

=>\widehat{B_1}=\widehat{ACB}

mà : \widehat{B_1}=\widehat{E_1} (∆HED ~ ∆HBC)

=> \widehat{E_1}=\widehat{ACB}

mà : \widehat{A_2}+\widehat{ACB}=90^0

\widehat{A_2}=\widehat{E_2} (cmt)

Xem thêm: Soi keo hom nay - Kèo ngon, tỷ lệ cược hấp dẫn

=>\widehat{E_1}+\widehat{E_2}=90^0

hay : \widehat{DEM}=90^0

=> ED \bot  EM.