căn bậc 2 của 2

By Admin 25/10/2023 0

"Hằng số Pythagoras" trả nhắm tới trên đây. Đừng lầm lẫn với Số Pythagoras.

Căn bậc nhì của 2 vì thế với chừng nhiều năm của cạnh huyền của một tam giác vuông sở hữu nhì cạnh lòng vì thế 1.

Căn bậc nhì của 2, hoặc lũy quá 50% của 2, được viết lách là √2 hoặc 21⁄2, là số đại số dương sao mang đến Lúc nhân với chủ yếu nó, mang đến tớ số 2. Đúng rộng lớn, nó được gọi là căn bậc nhì số học tập của 2 nhằm phân biệt với số đối của chính nó sở hữu đặc thù tương tự động.

Bạn đang xem: căn bậc 2 của 2

Trong hình học tập, căn bậc nhì của 2 là chừng nhiều năm đàng chéo cánh của một hình vuông vắn với cạnh nhiều năm 1 đơn vị; bắt nguồn từ lăm le lý Pythagoras. Nó có lẽ rằng là số vô tỉ được nghe biết trước tiên.

Một số hữu tỉ xấp xỉ với căn bậc nhì của nhì với kiểu mẫu số nhỏ một vừa hai phải cần là phân số 99/70 (≈ 1.4142857).

Dãy A002193 nhập OEIS bao gồm những chữ số nhập trình diễn thập phân của căn bậc nhì của 2, cho tới 65 chữ số thập phân:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799...

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Bản khu đất sét Babylon YBC 7289 với chú giải. Ngoài việc đã cho thấy căn bậc nhì của 2 nhập hệ lục thập phân (1 24 51 10), bạn dạng khu đất sét này cũng cho 1 ví dụ nếu như một cạnh của hình vuông vắn là 30 thì đàng chéo cánh là 42 25 35. Trong hệ lục thập phân 30 hoàn toàn có thể là 0 30 = 1/2, còn 0 42 25 35 xấp xỉ vì thế 0.7071065.

Bảng khu đất sét Babylon YBC 7289 (khoảng 1800–1600 TCN) cho 1 xấp xỉ của √2 nhập tứ chữ số lục thập phân, 1 24 51 10, đích thị cho tới khoảng tầm sáu chữ số thập phân,[1] và là xấp xỉ lục thập phân tốt nhất có thể của √2 người sử dụng 4 chữ số:

Một xấp xỉ nguyên sơ không giống xuất hiện nay nhập văn khiếu nại toán học tập của bấm Độ cổ kính, quyển Sulbasutras (khoảng 800–200 BC) như sau: Tăng chừng nhiều năm [của cạnh] vì thế một trong những phần tía chủ yếu nó và một trong những phần tư của một trong những phần tía và giảm sút một trong những phần tía mươi tư của một trong những phần tư bại.[2] Tức là,

Các môn thiết bị của Pythagoras phân phát hiện nay rằng đàng chéo cánh của hình vuông vắn và cạnh của chính nó là ko thể ví được, hoặc theo đuổi ngữ điệu tân tiến, căn bậc nhì của 2 là một vài vô tỉ. Không nhiều điều được thấu hiểu về thời hạn hoặc tình cảnh của mày mò này, tuy nhiên cái thương hiệu thông thường được nói tới là Hippasus của Metapontum. Các môn thiết bị Pythagoras coi tính vô tỉ của căn bậc nhì của 2 là một trong kín đáo, và theo đuổi điều kể, Hippasus đã trở nên thịt vì thế bật mý nó.[3][4][5] Căn bậc nhì của 2 nhiều khi còn được gọi là số Pythagoras hoặc hằng số Pythagoras, như nhập Conway & Guy (1996).[6]

Thuật toán tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Có một vài thuật toán nhằm xấp xỉ √2, thông thường là bên dưới dạng tỉ số của nhì số vẹn toàn hoặc một vài thập phân. Thuật toán thịnh hành nhất mang đến việc này, được sử dụng thực hiện hạ tầng trong không ít PC và PC đuc rút, là cách thức Babylon[7], một trong mỗi cách thức tính căn bậc nhì. Thuật toán này như sau:

Đầu tiên, đoán một vài a0 > 0 bất kì. Sau bại, người sử dụng số một vừa hai phải đoán, tính từng số hạng theo đuổi công thức truy hồi sau:

Càng rất nhiều lần tiến hành quy tắc tính bên trên (tức là phổ quát phiên tái diễn và số "n" càng lớn), mang đến tớ xấp xỉ càng chất lượng tốt của căn bậc nhì của 2. Mỗi phiên tính mang đến tớ khoảng tầm gấp rất nhiều lần số chữ số đích thị. Bắt đầu với a0 = 1 những số tiếp theo sau là

  • 3/2 = 1.5
  • 17/12 = 1.416...
  • 577/408 = 1.414215...
  • 665857/470832 = 1.4142135623746...

Giá trị của √2 được xem cho tới 137.438.953.444 chữ số thập phân vì thế group của Yasumasa Kanada năm 1997. Tháng hai năm 2006, kỉ lục mang đến việc tính √2 bị đánh tan dùng một cái máy tính cá thể. Shigeru Kondo tính 1 ngàn tỷ chữ số thập phân của căn bậc nhì của 2 nhập năm 2010.[8] Trong số những hằng số toán học tập với trình diễn thập phân cần thiết nhiều khoáng sản đo lường, chỉ mất π là được xem đúng mực rộng lớn.[9] Những đo lường vì vậy đa phần là nhằm đánh giá vì thế thực nghiệm coi những số bại liệu có phải là thông thường hay là không.

Xấp xỉ hữu tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một xấp xỉ hữu tỉ giản dị và đơn giản 99/70 (≈ 1.4142857) thông thường được dùng. Mặc dù là kiểu mẫu số đơn thuần 70, chừng sai chếch của chính nó với độ quý hiếm thực sự thấp hơn 1/10,000 (khoảng +072×10−4). Do nó là một trong giản phân của trình diễn liên phân số của căn bậc nhì của 2, bất kì xấp xỉ hữu tỉ này sát rộng lớn cần sở hữu kiểu mẫu số ko nhỏ nhiều hơn 169, bởi 239/169 (≈ 1.4142012) là giản phân tiếp theo sau với sai số khoảng tầm −012×10−4.

Xấp xỉ hữu tỉ 665857/470832, kể từ bước loại tứ nhập cách thức Babylon phía trên chính thức với a0 = 1, sở hữu sai số khoảng tầm 16×10−12: bình phương của chính nó là 20000000000045…

Kỉ lục[sửa | sửa mã nguồn]

Đây là bảng những kỉ lục thời gian gần đây trong các công việc tính những chữ số của √2 (1 ngàn tỉ = 1012 = một triệu.000.000).

Ngày Tên Số chữ số
28 mon 6 năm 2016 Ron Watkins 10 ngàn tỷ
3 tháng bốn năm 2016 Ron Watkins 5 ngàn tỷ
9 mon hai năm 2012 Alexander Yee 2 ngàn tỷ
22 mon 3 năm 2010 Shigeru Kondo 1 ngàn tỷ
Nguồn:[10]

Chứng minh tính vô tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một minh chứng cụt về tính chất vô tỉ của √2 dùng lăm le lý nghiệm hữu tỉ, tuyên bố rằng nếu như P(x) là một trong nhiều thức monic với thông số vẹn toàn, thì bất kì nghiệm hữu tỉ này của P(x) cũng chính là một vài vẹn toàn. sít dụng lăm le lý mang đến nhiều thức P(x) = x2 − 2, tớ suy đi ra √2 hoặc là số vẹn toàn hoặc là số vô tỉ. Vì 1<√2<2 nên nó ko là một vài vẹn toàn, vì thế √2 là một vài vô tỉ. Chứng minh này hoàn toàn có thể tổng quát: căn bậc nhì của bất kì số ngẫu nhiên này ko cần số chủ yếu phương là một vài vô tỉ.

Xem số vô tỉ bậc nhì hoặc lùi vô hạn mang đến minh chứng rằng căn bậc nhì của bất kì số ngẫu nhiên ko cần số chủ yếu phương nào thì cũng là vô tỉ.

Chứng minh vì thế lùi vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Một trong mỗi minh chứng thịnh hành nhất dùng cách thức lùi vô hạn. Đây cũng chính là minh chứng vì thế phản hội chứng, nhập bại mệnh đề cần thiết minh chứng được fake sử là sai rồi suy đi ra fake sử này sẽ không thể xẩy ra, tức mệnh đề cần thiết minh chứng là đích thị.

  1. Giả sử √2 là một vài hữu tỉ, tức √2 hoàn toàn có thể viết lách bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, nhập bại a và b nhân tố bên nhau.
  2. Ta suy đi ra a2/b2 = 2 và a2 = 2b2.   (a2 và b2 là những số nguyên)
  3. Do bại a2 là số chẵn, nên a cũng chính là số chẵn, tức tồn bên trên số vẹn toàn k sao mang đến a = 2k.
  4. Thay 2k mang đến a nhập đẳng thức ở bước 2: 2b2 = (2k)2 tớ được b2 = 2k2.
  5. Lập luận như bước 3, tớ được b2 là số chẵn, nên b là số chẵn.
  6. Như vậy cả a và b đều là số chẵn, trái ngược với fake thiết rằng a và b là nhì số nhân tố bên nhau.

Vì tớ suy đi ra được một điều vô lý, fake sử (1) rằng √2 là số hữu tỉ là sai. Tức là, √2 cần là một vài vô tỉ.

Chứng minh này được khêu gợi ý vì thế Aristotle, nhập cuốn Analytica Priora, §I.23.[11] Chứng minh hoàn hảo trước tiên xuất hiện nay nhập cỗ Trung tâm của Euclid, là mệnh đề 117 của Quyển X. Tuy nhiên, từ trên đầu thế kỷ 19 nhiều sử gia nhận định rằng minh chứng này sẽ không ở trong bạn dạng thảo gốc và vì thế ko thể nghĩ rằng của Euclid.[12]

Chứng minh hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 1. Chứng minh hình học tập của Stanley Tennenbaum mang đến tính vô tỉ của √2.

Một trình diễn hình học tập của minh chứng bên trên được John Horton Conway nghĩ rằng của Stanley Tennenbaum Lúc ông còn là một học viên đầu những năm 1950[13] và phiên xuất hiện nay thời gian gần đây nhất là nhập một bài xích báo vì thế Noson Yanofsky nhập tập san American Scientist số mon 5-6 năm 2016.[14] Cho nhì hình vuông vắn sở hữu cạnh là số vẹn toàn a và b, nhập bại một chiếc sở hữu diện tích S gấp rất nhiều lần kiểu mẫu bại, đặt điều nhì hình vuông vắn nhỏ nhập hình vuông vắn rộng lớn như nhập hình 1. Phần giao phó nhau ở thân ái sở hữu diện tích S ((2b − a)2) cần vì thế tổng diện tích S của nhì hình vuông vắn nhỏ ko được phủ phủ (2(a − b)2). Như vậy tớ chiếm được nhì hình vuông vắn nhỏ rộng lớn những hình vuông vắn lúc đầu và diện tích S tính năng này gấp rất nhiều lần kiểu mẫu bại. Lặp lại quy trình này tớ hoàn toàn có thể thu nhỏ những hình vuông vắn tùy ý, tuy nhiên điều này là vô nguyên nhân bọn chúng cần sở hữu cạnh là số vẹn toàn dương, tức to hơn hoặc vì thế 1.

Hình 2. Chứng minh hình học tập của Tom Apostol mang đến tính vô tỉ của √2.

Một minh chứng hình học tập dùng phản hội chứng không giống xuất hiện nay năm 2000 nhập luyện san American Mathematical Monthly.[15] Nó cũng là một trong minh chứng dùng cách thức lùi vô hạn, mặt khác dùng quy tắc dựng hình vì thế thước kẻ và compa đang được biết kể từ thời Hy Lạp cổ kính.

Lấy △ABC vuông cân nặng với cạnh huyền m và cạnh mặt mày n như nhập Hình 2. Theo lăm le lý Pythagoras, m/n = √2. Giả sử m và n là những số vẹn toàn và m:n là phân số tối giản

Vẽ những cung BD và CE với tâm A. Nối DE hạn chế BC bên trên F. Dễ thấy, nhì tam giác ABC và ADE đều bằng nhau theo đuổi cạnh-góc-cạnh.

Ngoài đi ra tớ cũng thấy △BEF là tam giác vuông cân nặng. Do bại BE = BF = m − n. Theo tính đối xứng, DF = m − n, và △FDC cũng chính là tam giác vuông cân nặng. Ta suy đi ra FC = n − (m − n) = 2n − m.

Như vậy tớ sở hữu một tam giác vuông cân nặng nhỏ rộng lớn với cạnh huyền 2n − m và cạnh mặt mày m − n. Chúng nhỏ rộng lớn m và n tuy nhiên sở hữu nằm trong tỉ lệ thành phần, trái ngược với fake thiết là m:n là tối giản. Do bại, m và n ko thể nằm trong là số vẹn toàn, nên √2.

Chứng minh trực tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Một phía lên đường không giống mang ý nghĩa thi công là thiết lập 1 vách bên dưới mang đến hiệu của √2 và một vài hữu tỉ bất kì. Với nhì số vẹn toàn dương a và b, số nón đích thị của 2 (tức số nón của 2 nhập khai triển đi ra quá số vẹn toàn tố) của a2 là chẵn, còn của 2b2 là lẻ, nên bọn chúng là những số vẹn toàn không giống nhau; vì thế | 2b2 − a2 | ≥ 1 với từng a, b vẹn toàn dương. Khi đó[16]

Xem thêm: năng lượng liên kết riêng là năng lượng liên kết

bất đẳng thức cuối đích thị bởi tớ fake sử a/b ≤ 3 − √2 (nếu ko thì hiệu bên trên rõ ràng to hơn 3 − 2√2 > 0). Bất đẳng thức này mang đến tớ ngăn bên dưới 1/3b2 của hiệu | √2 − a/b |, kể từ bại kéo theo minh chứng tính vô tỉ thẳng nhưng mà ko cần thiết fake sử phản hội chứng. Chứng minh này cho là tồn bên trên một khoảng cách thân ái √2 và ngẫu nhiên số hữu tỉ này.

Tính hóa học của căn bậc nhì của 2[sửa | sửa mã nguồn]

Một nửa của √2, mặt khác cũng chính là nghịch tặc hòn đảo của √2, xấp xỉ vì thế 0.707106781186548, là một trong độ quý hiếm thông thường bắt gặp nhập hình học tập và lượng giác vì thế vectơ đơn vị chức năng tạo ra góc 45° với những trục thì sở hữu tọa độ

Số này thỏa mãn

Một độ quý hiếm sở hữu tương quan là tỷ trọng bạc. Hai số dương a, b sở hữu tỷ lệ bạc δS nếu

.

Bằng cơ hội biến hóa về phương trình bậc nhì, tớ hoàn toàn có thể giải được δS = 1 + √2.

√2 hoàn toàn có thể được trình diễn theo đuổi đơn vị chức năng ảo i chỉ dùng căn bậc nhì và những quy tắc toán số học:

nếu ký hiệu căn bậc nhì được khái niệm hợp lý và phải chăng mang đến số phức i và −i.

√2 cũng chính là số thực độc nhất không giống 1 nhưng mà tetration vô hạn phiên vì thế với bình phương của chính nó. Một cơ hội tuyên bố ngặt nghèo như sau: nếu như với số thực c > 1 tớ khái niệm x1 = c và xn+1 = cxn với n > 1, thì số lượng giới hạn của xn Lúc n → ∞ (nếu tồn tại) gọi là f(c). Khi ấy √2 là số c > 1 độc nhất thỏa f(c) = c2. Hay rằng cơ hội khác:

√2 cũng xuất hiện nay nhập công thức Viète mang đến π:

với m vệt căn và đích thị một vệt trừ.[17]

Ngoài đi ra, √2 còn xuất hiện nay trong không ít hằng con số giác:[18]

Hiện vẫn không biết liệu √2 liệu có phải là số chuẩn chỉnh, một đặc thù mạnh rộng lớn tính vô tỉ, tuy nhiên phân tách tổng hợp trình diễn của chính nó nhập hệ nhị phân đã cho thấy sở hữu năng lực nó chuẩn chỉnh nhập hệ cơ số nhì.[19]

Biểu thao diễn chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ thức cos π/4 = sin π/4 = 1/√2, cùng theo với những trình diễn tích vô hạn của sin và cosin mang đến ta

và

hoặc tương tự,

Ngoài đi ra tớ hoàn toàn có thể người sử dụng chuỗi Taylor của những nồng độ giác. Ví dụ, chuỗi Taylor mang đến cos π/4 mang đến ta

Chuỗi Taylor mang đến √1 + x với x = 1 cùng theo với giai quá kép n!! mang đến ta

Sử dụng biến hóa Euler nhằm đẩy mạnh vận tốc quy tụ của sản phẩm, tớ được

Một công thức dạng BBP mang đến √2 vẫn không được tìm hiểu đi ra, tuy vậy đang được sở hữu những công thức dạng BBP mang đến π√2 và √2ln(1+√2).[20]

√2 hoàn toàn có thể trình diễn vì thế phân số Ai Cập, với kiểu mẫu số vì thế những số hạng loại 2n của một sản phẩm hồi quy tuyến tính kiểu như sản phẩm Fibonacci. Đặt a0 = 0, a1 = 6, an = 34an − 1 − an − 2[21]

Liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

Xấp xỉ căn bậc nhì của 2 vì thế sản phẩm giản phân.

Căn bậc nhì của 2 sở hữu trình diễn vì thế liên phân số sau:

Những giản phân trước tiên là: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408. Giản phân p/q cơ hội √2 một khoảng tầm sát vì thế 1/2q2√2[cần dẫn nguồn] và giản phân tiếp theo sau là p + 2q/p + q.

Bình phương lồng nhau[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thức tại đây quy tụ về √2:

Hằng số liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Nghịch hòn đảo của căn bậc nhì của 2 (căn bậc nhì của 1/2) là một trong hằng số thông thường người sử dụng.

Xem thêm: đề thi giữa kì 2 toán 5

(dãy số A010503 nhập bảng OEIS)

Khổ giấy[sửa | sửa mã nguồn]

Năm 1786, GS cơ vật lý người Đức Georg Lichtenberg[22] phân phát hiện nay rằng ngẫu nhiên tờ giấy tờ này sở hữu cạnh nhiều năm dài cấp √2 phiên cạnh cụt hoàn toàn có thể được gấp rất nhiều lần muốn tạo trở thành một tờ giấy tờ mới nhất sở hữu tỉ lệ thành phần y chang tờ lúc đầu. Tỉ lệ giấy tờ này bảo đảm an toàn rằng hạn chế giấy tờ trở thành nhì nửa tạo ra những tờ giấy tờ nhỏ rộng lớn nằm trong tỉ lệ thành phần. Khi Đức chuẩn chỉnh hóa mẫu giấy nhập vào đầu thế kỷ đôi mươi, bọn họ người sử dụng tỉ lệ thành phần của Lichtenberg muốn tạo trở thành giấy tờ cực khổ "A".[22] Hiện ni, tỉ lệ thành phần sườn hình (xấp xỉ) của mẫu giấy theo đuổi xài chuẩn chỉnh ISO 216 (A4, A0, vân vân) là 1:√2.

Chứng minh:
Gọi cạnh cụt và cạnh nhiều năm của tờ giấy tờ, với

theo đuổi ISO 216.

Gọi là tỉ số của 50% tờ giấy tờ thì

.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Căn bậc nhì của 3
  • Căn bậc nhì của 5
  • Tỷ lệ bạc, 1 + √2
  • Căn bậc nhì của 2 tạo hình nhập mối quan hệ Một trong những f-stop của thấu kính máy hình ảnh, kéo theo tỉ lệ thành phần diện tích thân ái nhì khẩu chừng tiếp tục là 2.
  • Hằng số Gelfond–Schneider, 2√2.
  • Công thức Viète mang đến pi

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Fowler và Robson, trang 368.
    Photograph, illustration, and mô tả tìm kiếm of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection Lưu trữ 2012-08-13 bên trên Wayback Machine
    High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
  2. ^ Henderson.
  3. ^ Stephanie J. Morris, "The Pythagorean Theorem" Lưu trữ 2013-05-30 bên trên Wayback Machine, Khoa Sư phạm Toán, Đại học tập Georgia.
  4. ^ Brian Clegg, "The Dangerous Ratio..." Lưu trữ 2013-06-27 bên trên Wayback Machine, Nrich.org, mon 11 2004.
  5. ^ Kurt von Fritz, "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum", Annals of Mathematics, 1945.
  6. ^ Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Copernicus, tr. 25
  7. ^ Mặc mặc dù thời nay cụm kể từ "phương pháp Babylon" được sử dụng khá thịnh hành, không tồn tại dẫn chứng thẳng này đã cho thấy cơ hội người Babylon tính xấp xỉ √2 bên trên bạn dạng khu đất sét YBC 7289. Fowler và Robson khuyến nghị một vài fake thiết.
    Fowler và Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.
  8. ^ “Constants and Records of Computation”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  9. ^ “Number of known digits”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  10. ^ “Records Set by y-cruncher”. Bản gốc tàng trữ ngày đôi mươi mon 10 năm 2015. Truy cập ngày 3 mon 10 năm 2019.
  11. ^ Trong Lúc viết lách về hội chứng mihn vì thế phản hội chứng, Aristotle nói: "đường chéo cánh của hình vuông vắn là ko thể ví được với cạnh của chính nó, cũng chính vì số lẻ tiếp tục ngay số chẵn nếu như bọn chúng ví được với nhau".
  12. ^ Phiên bạn dạng giờ đồng hồ Hy Lạp của cục Cơ sở xuất bạn dạng vì thế E. F. August bên trên Berlin nhập 1826–1829 trả minh chứng này nhập phần Phụ lục. Điều tương tự động xẩy ra với phiên bạn dạng của sử gia J. L. Heiberg (1883–1888).
  13. ^ Proof 8‴ Lưu trữ 2016-04-22 bên trên Wayback Machine
  14. ^ Yanofsky, N. (2016). “Paradoxes, Contradictions, and the Limits of Science”. Bản gốc tàng trữ ngày 30 mon 6 năm năm 2016.
  15. ^ Tom M. Apostol (tháng 11 năm 2000), “Irrationality of The Square Root of Two -- A Geometric Proof”, The American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741
  16. ^ Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2011), “Meaning in Classical Mathematics: Is it at Odds with Intuitionism?”, Intellectica, 56 (2): 223–302 (Mục 2.3, chú giải 15), arXiv:1110.5456, Bibcode:2011arXiv1110.5456U
  17. ^ Courant, Richard; Robbins, Herbert (1941), What is mathematics? An Elementary Approach vĩ đại Ideas and Methods, London: Oxford University Press, tr. 124
  18. ^ Julian D. A. Wiseman Sin and cos in surds Lưu trữ 2009-05-06 bên trên Wayback Machine
  19. ^ Good & Gover (1967).
  20. ^ “Archived copy” (PDF). Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 10 mon 6 năm 2011. Truy cập ngày 30 tháng bốn năm 2010.Quản lý CS1: bạn dạng tàng trữ là title (liên kết)
  21. ^ “Sloane's A082405”. Bảng tra cứu vớt sản phẩm số vẹn toàn trực tuyến. Tổ chức OEIS.
  22. ^ a b Houston, Keith (2016). The Book: A Cover-to-Cover Exploration of the Most Powerful Object of Our Time. W. W. Norton & Company. tr. 324. ISBN 0393244806.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Apostol, Tom M. (2000), “Irrationality of square root of 2 – A geometric proof”, American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741, JSTOR 2695741.
  • Aristotle (2007), Analytica priora, eBooks@Adelaide
  • Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
  • Flannery, David (2005), The Square Root of Two, Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-X.
  • Fowler, David; Robson, Eleanor (1998), “Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context” (PDF), Historia Mathematica, 25 (4): 366–378, doi:10.1006/hmat.1998.2209, Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 3 mon 9 năm 2006.
  • Good, I. J.; Gover, T. N. (1967), “The generalized serial test and the binary expansion of √2”, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 130 (1): 102–107, doi:10.2307/2344040, JSTOR 2344040.
  • Henderson, David W. (2000), “Square roots in the Śulba Sūtras”, nhập Gorini, Catherine A. (biên tập), Geometry At Work: Papers in Applied Geometry, Cambridge University Press, tr. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Gourdon, X.; Sebah, Phường. (2001), “Pythagoras' Constant: √2”, Numbers, Constants and Computation.
  • Weisstein, Eric W., "Pythagoras's Constant" kể từ MathWorld.
  • Căn bậc nhì của Hai cho tới 5 triệu chữ số vì thế Jerry Bonnell và Robert J. Nemiroff. Tháng 5, 1994.
  • Căn bậc nhì của 2 là vô tỉ, một tuyển chọn luyện những hội chứng minh
  • Grime, James; Bowley, Roger. “The Square Root √2 of Two”. Numberphile. Brady Haran. Bản gốc tàng trữ ngày 22 mon 5 năm 2017. Truy cập ngày 19 mon 12 năm 2019.